integral of 1/(x^2+3x+3)

Lời Giải

\int \frac{1}{x ^{2} + 3 x + 3} d x

\frac{2}{3} arctan (\frac{2}{3} x + 3) + C

Các bước giải pháp

\int \frac{1}{x ^{2} + 3 x + 3} d x

Hoàn thành bình phương

x^{2} + 3 x + 3 : (x + \frac{3}{2})^{2} + \frac{3}{4}

= \int \frac{1}{( x + \frac{3}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} d x

Áp dụng Phép đổi biến tích phân

: \int \frac{4}{4 u ^{2} + 3} d u

= \int \frac{4}{4 u ^{2} + 3} d u

Đưa hằng số ra ngoài:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int \frac{1}{4 u ^{2} + 3} d u

Áp dụng Phép đổi biến tích phân

= 4 \cdot \int \frac{1}{2 3 ( v ^{2} + 1 )} d v

Đưa hằng số ra ngoài:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \frac{1}{2 3} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v

Sử dụng tích phân chung:

\int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v = arctan (v)

= 4 \cdot \frac{1}{2 3} arctan (v)

Thay thế trở lại

= 4 \cdot \frac{1}{2 3} arctan (\frac{2}{3} (x + \frac{3}{2}))

Rút gọn

4 \cdot \frac{1}{2 3} arctan (\frac{2}{3} (x + \frac{3}{2})) : \frac{2}{3} arctan (\frac{2}{3} x + 3)

= \frac{2}{3} arctan (\frac{2}{3} x + 3)

Thêm một hằng số vào Lời giải

= \frac{2}{3} arctan (\frac{2}{3} x + 3) + C

x \to 0 lim (- arcsin (x))

\int_{0}^{1} 9 cos (\frac{π t}{2}) d t

\int \frac{1}{x ^{2} + 36} d x

ln (3)