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cos^2(36)-sin^2(36)

Solution

cos^{2} (3 6^{\circ}) - sin^{2} (3 6^{\circ})

Solution

\frac{5 - 1}{4}

Notation décimale

0.30901 \dots

étapes des solutions

cos^{2} (3 6^{\circ}) - sin^{2} (3 6^{\circ})

Récrire en utilisant des identités trigonométriques:

cos (3 6^{\circ}) = \frac{5 + 1}{4}

cos (3 6^{\circ})

Démontrer que :

cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

Utiliser le produit suivant pour additionner une identité:

2 sin (x) cos (y) = sin (x + y) - sin (x - y)

2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) = sin (5 4^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})

Démontrer que :

2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

Utiliser l'identité d'angle double:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

sin (7 2^{\circ}) = 2 sin (3 6^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

sin (7 2^{\circ}) sin (3 6^{\circ}) = 4 sin (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Diviser les deux côtés par

sin (3 6^{\circ})

sin (7 2^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Utiliser les identités suivantes:

sin (x) = cos (9 0^{\circ} - x)

sin (7 2^{\circ}) = cos (9 0^{\circ} - 7 2^{\circ})

cos (9 0^{\circ} - 7 2^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

cos (1 8^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Diviser les deux côtés par

cos (1 8^{\circ})

1 = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

Diviser les deux côtés par

2

\frac{1}{2} = 2 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

Remplacer

\frac{1}{2} = 2 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

\frac{1}{2} = sin (5 4^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})

sin (5 4^{\circ}) = cos (9 0^{\circ} - 5 4^{\circ})

\frac{1}{2} = cos (9 0^{\circ} - 5 4^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})

\frac{1}{2} = cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})

Démontrer que :

cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}) = \frac{5}{4}

Utiliser la règle de factorisation :

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

a = cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ})

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))^{2} = ((cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ})) + (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))) ((cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ})) - (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})))

Redéfinir

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))^{2} = 2 (2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}))

Démontrer que :

2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

Utiliser l'identité d'angle double:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

sin (7 2^{\circ}) = 2 sin (3 6^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

sin (7 2^{\circ}) sin (3 6^{\circ}) = 4 sin (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Diviser les deux côtés par

sin (3 6^{\circ})

sin (7 2^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Utiliser les identités suivantes:

sin (x) = cos (9 0^{\circ} - x)

sin (7 2^{\circ}) = cos (9 0^{\circ} - 7 2^{\circ})

cos (9 0^{\circ} - 7 2^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

cos (1 8^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Diviser les deux côtés par

cos (1 8^{\circ})

1 = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

Diviser les deux côtés par

2

\frac{1}{2} = 2 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

Remplacer

2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))^{2} = 1

Remplacer

cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - (\frac{1}{2})^{2} = 1

Redéfinir

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - \frac{1}{4} = 1

Ajouter

\frac{1}{4}

aux deux côtés

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{4}

Redéfinir

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} = \frac{5}{4}

Prendre la racine carrée des deux côtés

cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}) = \pm \frac{5}{4}

cos (3 6^{\circ})

ne peut pas être négative

sin (1 8^{\circ})

ne peut pas être négative

cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}) = \frac{5}{4}

Ajouter les équations suivantes

cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}) = \frac{5}{2}

((cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ})) + (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))) = (\frac{5}{2} + \frac{1}{2})

Redéfinir

cos (3 6^{\circ}) = \frac{5 + 1}{4}

= \frac{5 + 1}{4}

Récrire en utilisant des identités trigonométriques:

sin (3 6^{\circ}) = \frac{2 5 - 5}{4}

sin (3 6^{\circ})

Démontrer que :

cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

Utiliser le produit suivant pour additionner une identité:

2 sin (x) cos (y) = sin (x + y) - sin (x - y)

2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) = sin (5 4^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})

Démontrer que :

2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

Utiliser l'identité d'angle double:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

sin (7 2^{\circ}) = 2 sin (3 6^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

sin (7 2^{\circ}) sin (3 6^{\circ}) = 4 sin (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Diviser les deux côtés par

sin (3 6^{\circ})

sin (7 2^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Utiliser les identités suivantes:

sin (x) = cos (9 0^{\circ} - x)

sin (7 2^{\circ}) = cos (9 0^{\circ} - 7 2^{\circ})

cos (9 0^{\circ} - 7 2^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

cos (1 8^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Diviser les deux côtés par

cos (1 8^{\circ})

1 = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

Diviser les deux côtés par

2

\frac{1}{2} = 2 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

Remplacer

\frac{1}{2} = 2 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

\frac{1}{2} = sin (5 4^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})

sin (5 4^{\circ}) = cos (9 0^{\circ} - 5 4^{\circ})

\frac{1}{2} = cos (9 0^{\circ} - 5 4^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})

\frac{1}{2} = cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})

Démontrer que :

cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}) = \frac{5}{4}

Utiliser la règle de factorisation :

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

a = cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ})

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))^{2} = ((cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ})) + (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))) ((cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ})) - (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})))

Redéfinir

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))^{2} = 2 (2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}))

Démontrer que :

2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

Utiliser l'identité d'angle double:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

sin (7 2^{\circ}) = 2 sin (3 6^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

sin (7 2^{\circ}) sin (3 6^{\circ}) = 4 sin (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Diviser les deux côtés par

sin (3 6^{\circ})

sin (7 2^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Utiliser les identités suivantes:

sin (x) = cos (9 0^{\circ} - x)

sin (7 2^{\circ}) = cos (9 0^{\circ} - 7 2^{\circ})

cos (9 0^{\circ} - 7 2^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

cos (1 8^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Diviser les deux côtés par

cos (1 8^{\circ})

1 = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

Diviser les deux côtés par

2

\frac{1}{2} = 2 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

Remplacer

2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))^{2} = 1

Remplacer

cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - (\frac{1}{2})^{2} = 1

Redéfinir

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - \frac{1}{4} = 1

Ajouter

\frac{1}{4}

aux deux côtés

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{4}

Redéfinir

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} = \frac{5}{4}

Prendre la racine carrée des deux côtés

cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}) = \pm \frac{5}{4}

cos (3 6^{\circ})

ne peut pas être négative

sin (1 8^{\circ})

ne peut pas être négative

cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}) = \frac{5}{4}

Ajouter les équations suivantes

cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}) = \frac{5}{2}

((cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ})) + (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))) = (\frac{5}{2} + \frac{1}{2})

Redéfinir

cos (3 6^{\circ}) = \frac{5 + 1}{4}

Mettre les deux côtés au carré

(cos (3 6^{\circ}))^{2} = (\frac{5 + 1}{4})^{2}

Utiliser les identités suivantes:

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

sin^{2} (3 6^{\circ}) = 1 - cos^{2} (3 6^{\circ})

Remplacer

cos (3 6^{\circ}) = \frac{5 + 1}{4}

sin^{2} (3 6^{\circ}) = 1 - (\frac{5 + 1}{4})^{2}

Redéfinir

sin^{2} (3 6^{\circ}) = \frac{5 - 5}{8}

Prendre la racine carrée des deux côtés

sin (3 6^{\circ}) = \pm \frac{5 - 5}{8}

sin (3 6^{\circ})

ne peut pas être négative

sin (3 6^{\circ}) = \frac{5 - 5}{8}

Redéfinir

sin (3 6^{\circ}) = \frac{\frac{5 - 5}{2}}{2}

= \frac{\frac{5 - 5}{2}}{2}

Simplifier

= \frac{2 5 - 5}{4}

= (\frac{5 + 1}{4})^{2} - (\frac{2 5 - 5}{4})^{2}

Simplifier

(\frac{5 + 1}{4})^{2} - (\frac{2 5 - 5}{4})^{2} : \frac{5 - 1}{4}

(\frac{5 + 1}{4})^{2} - (\frac{2 5 - 5}{4})^{2}

(\frac{5 + 1}{4})^{2} = \frac{3 + 5}{2 ^{3}}

(\frac{5 + 1}{4})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( 5 + 1 ) ^{2}}{4 ^{2}}

(5 + 1)^{2} = 6 + 25

(5 + 1)^{2}

Appliquer la formule du carré parfait:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 5, b = 1

= (5)^{2} + 25 \cdot 1 + 1^{2}

Simplifier

(5)^{2} + 25 \cdot 1 + 1^{2} : 6 + 25

(5)^{2} + 25 \cdot 1 + 1^{2}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= (5)^{2} + 2 \cdot 1 \cdot 5 + 1

(5)^{2} = 5

(5)^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (5^{\frac{1}{2}})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 5

25 \cdot 1 = 25

25 \cdot 1

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= 25

= 5 + 25 + 1

Additionner les nombres :

5 + 1 = 6

= 6 + 25

= 6 + 25

= \frac{6 + 2 5}{4 ^{2}}

Factoriser

6 + 25 : 2 (3 + 5)

6 + 25

Récrire comme

= 2 \cdot 3 + 25

Factoriser le terme commun

2

= 2 (3 + 5)

= \frac{2 ( 3 + 5 )}{4 ^{2}}

Factoriser

4^{2} : 2^{4}

Factoriser

4 = 2^{2}

= (2^{2})^{2}

Simplifier

(2^{2})^{2} : 2^{4}

(2^{2})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= 2^{4}

= 2^{4}

= \frac{2 ( 3 + 5 )}{2 ^{4}}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{3 + 5}{2 ^{3}}

(\frac{2 5 - 5}{4})^{2} = \frac{5 - 5}{2 ^{3}}

(\frac{2 5 - 5}{4})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( 2 5 - 5 ) ^{2}}{4 ^{2}}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

(2 5 - 5)^{2} = (2)^{2} (5 - 5)^{2}

= \frac{( 2 ) ^{2} ( 5 - 5 ) ^{2}}{4 ^{2}}

(2)^{2} : 2

Appliquer la règle des radicaux:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (2^{\frac{1}{2}})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 2

= \frac{2 ( 5 - 5 ) ^{2}}{4 ^{2}}

(5 - 5)^{2} : 5 - 5

Appliquer la règle des radicaux:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((5 - 5)^{\frac{1}{2}})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (5 - 5)^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 5 - 5

= \frac{2 ( 5 - 5 )}{4 ^{2}}

Factoriser

4^{2} : 2^{4}

Factoriser

4 = 2^{2}

= (2^{2})^{2}

Simplifier

(2^{2})^{2} : 2^{4}

(2^{2})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= 2^{4}

= 2^{4}

= \frac{2 ( 5 - 5 )}{2 ^{4}}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{5 - 5}{2 ^{3}}

= \frac{3 + 5}{2 ^{3}} - \frac{5 - 5}{2 ^{3}}

Appliquer la règle

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 + 5 - ( 5 - 5 )}{2 ^{3}}

2^{3} = 8

= \frac{3 + 5 - ( 5 - 5 )}{8}

Développer

3 + 5 - (5 - 5) : 25 - 2

3 + 5 - (5 - 5)

- (5 - 5) : - 5 + 5

- (5 - 5)

Distribuer des parenthèses

= - (5) - (- 5)

Appliquer les règles des moins et des plus

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 5 + 5

= 3 + 5 - 5 + 5

Simplifier

3 + 5 - 5 + 5 : 25 - 2

3 + 5 - 5 + 5

Additionner les éléments similaires :

5 + 5 = 25

= 3 + 25 - 5

Soustraire les nombres :

3 - 5 = - 2

= 25 - 2

= 25 - 2

= \frac{2 5 - 2}{8}

Factoriser

25 - 2 : 2 (5 - 1)

25 - 2

Récrire comme

= 25 - 2 \cdot 1

Factoriser le terme commun

2

= 2 (5 - 1)

= \frac{2 ( 5 - 1 )}{8}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{5 - 1}{4}

= \frac{5 - 1}{4}

Exemples populaires

csc((11pi)/(12))

csc (\frac{11 π}{12})

6tan(30)

6 tan (3 0^{\circ})

cos(1.7)

cos (1.7)

(50)/(cos(30))

\frac{50}{cos ( 3 0 ^{\circ} )}

cot(540)

cot (54 0^{\circ})