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sin(2θ)-sin(θ)=0

Solution

sin (2 θ) - sin (θ) = 0

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Degrés

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

sin (2 θ) - sin (θ) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

sin (2 θ) - sin (θ)

Utiliser l'identité d'angle double:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 2 sin (θ) cos (θ) - sin (θ)

- sin (θ) + 2 cos (θ) sin (θ) = 0

Factoriser

- sin (θ) + 2 cos (θ) sin (θ) : sin (θ) (2 cos (θ) - 1)

- sin (θ) + 2 cos (θ) sin (θ)

Factoriser le terme commun

sin (θ)

= sin (θ) (- 1 + 2 cos (θ))

sin (θ) (2 cos (θ) - 1) = 0

En solutionnant chaque partie séparément

sin (θ) = 0 or 2 cos (θ) - 1 = 0

sin (θ) = 0 : θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

sin (θ) = 0

Solutions générales pour

sin (θ) = 0

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

Résoudre

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

2 cos (θ) - 1 = 0 : θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

2 cos (θ) - 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

2 cos (θ) - 1 = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

2 cos (θ) - 1 + 1 = 0 + 1

Simplifier

2 cos (θ) = 1

2 cos (θ) = 1

Diviser les deux côtés par

2

2 cos (θ) = 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 cos ( θ )}{2} = \frac{1}{2}

Simplifier

cos (θ) = \frac{1}{2}

cos (θ) = \frac{1}{2}

Solutions générales pour

cos (θ) = \frac{1}{2}

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Combiner toutes les solutions

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

- 4 sin (4 x) = 0

cos (x) = - 3

2 cos (3 θ) = 1

sin^{2} (x) + sin (x) - 1 = 0

2 cos^{2} (x) = 2 - sin (x)