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4cos^2(x)+4cos(x)=1

Solution

4 cos^{2} (x) + 4 cos (x) = 1

Solution

x = 1.36217 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.36217 \dots + 2 πn

Degrés

x = 78.04714 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 281.95285 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

4 cos^{2} (x) + 4 cos (x) = 1

Résoudre par substitution

4 cos^{2} (x) + 4 cos (x) = 1

Soit :

cos (x) = u

4 u^{2} + 4 u = 1

4 u^{2} + 4 u = 1 : u = \frac{- 1 + 2}{2}, u = - \frac{1 + 2}{2}

4 u^{2} + 4 u = 1

Déplacer

1

vers la gauche

4 u^{2} + 4 u = 1

Soustraire

1

des deux côtés

4 u^{2} + 4 u - 1 = 1 - 1

Simplifier

4 u^{2} + 4 u - 1 = 0

4 u^{2} + 4 u - 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

4 u^{2} + 4 u - 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 4, b = 4, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

4^{2} - 4 \cdot 4 (- 1) = 42

4^{2} - 4 \cdot 4 (- 1)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= 4^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 4^{2} + 16

4^{2} = 16

= 16 + 16

Additionner les nombres :

16 + 16 = 32

= 32

Factorisation première de

32 : 2^{5}

32

32

divisée par

232 = 16 \cdot 2

= 2 \cdot 16

16

divisée par

216 = 8 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 8

8

divisée par

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

divisée par

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{5}

= 2^{5}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 2

Appliquer la règle des radicaux:

= 2 2^{4}

Appliquer la règle des radicaux:

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 2

Redéfinir

= 42

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 2}{2 \cdot 4}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- 4 + 4 2}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- 4 - 4 2}{2 \cdot 4}

u = \frac{- 4 + 4 2}{2 \cdot 4} : \frac{- 1 + 2}{2}

\frac{- 4 + 4 2}{2 \cdot 4}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4 + 4 2}{8}

Factoriser

- 4 + 42 : 4 (- 1 + 2)

- 4 + 42

Récrire comme

= - 4 \cdot 1 + 42

Factoriser le terme commun

4

= 4 (- 1 + 2)

= \frac{4 ( - 1 + 2 )}{8}

Annuler le facteur commun :

4

= \frac{- 1 + 2}{2}

u = \frac{- 4 - 4 2}{2 \cdot 4} : - \frac{1 + 2}{2}

\frac{- 4 - 4 2}{2 \cdot 4}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4 - 4 2}{8}

Factoriser

- 4 - 42 : - 4 (1 + 2)

- 4 - 42

Récrire comme

= - 4 \cdot 1 - 42

Factoriser le terme commun

4

= - 4 (1 + 2)

= - \frac{4 ( 1 + 2 )}{8}

Annuler le facteur commun :

4

= - \frac{1 + 2}{2}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = \frac{- 1 + 2}{2}, u = - \frac{1 + 2}{2}

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = \frac{- 1 + 2}{2}, cos (x) = - \frac{1 + 2}{2}

cos (x) = \frac{- 1 + 2}{2}, cos (x) = - \frac{1 + 2}{2}

cos (x) = \frac{- 1 + 2}{2} : x = arccos (\frac{- 1 + 2}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 2}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{- 1 + 2}{2}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = \frac{- 1 + 2}{2}

Solutions générales pour

cos (x) = \frac{- 1 + 2}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{- 1 + 2}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 2}{2}) + 2 πn

x = arccos (\frac{- 1 + 2}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 2}{2}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{1 + 2}{2} :

Aucune solution

cos (x) = - \frac{1 + 2}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Aucune solution

Combiner toutes les solutions

x = arccos (\frac{- 1 + 2}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 2}{2}) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = 1.36217 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.36217 \dots + 2 πn

Exemples populaires

sin(x)= 1/6

sin (x) = \frac{1}{6}

tan(θ)= 2/5

tan (θ) = \frac{2}{5}

tan(x)+3cot(x)=4

tan (x) + 3 cot (x) = 4

cos(2x)[cos(2x)-3]=0

cos (2 x) [cos (2 x) - 3] = 0

cos^2(θ)= 1/4

cos^{2} (θ) = \frac{1}{4}