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tan((5pi)/8)

Solução

tan (\frac{5 π}{8})

Solução

- 3 + 22

Notação decimal

- 2.41421 \dots

Passos da solução

tan (\frac{5 π}{8})

Reeecreva usando identidades trigonométricas:

- \frac{1 - cos ( \frac{5 π}{4} )}{1 + cos ( \frac{5 π}{4} )}

tan (\frac{5 π}{8})

Escrever

tan (\frac{5 π}{8})

como

tan (\frac{\frac{5 π}{4}}{2})

= tan (\frac{\frac{5 π}{4}}{2})

Utilizar a identidade trigonométrica do arco metade:

tan (\frac{θ}{2}) = - \frac{1 - cos ( θ )}{1 + cos ( θ )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas:

tan^{2} (θ) = \frac{1 - cos ( 2 θ )}{1 + cos ( 2 θ )}

Usar a seguinte identidade

tan (θ) = \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Elevar ambos os lados ao quadrado

tan^{2} (θ) = \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas:

sin^{2} (θ) = \frac{1 - cos ( 2 θ )}{2}

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo

cos (2 θ) = 1 - 2 sin^{2} (θ)

Trocar lados

2 sin^{2} (θ) - 1 = - cos (2 θ)

Adicionar

1

a ambos os lados

2 sin^{2} (θ) = 1 - cos (2 θ)

Dividir ambos os lados por

2

sin^{2} (θ) = \frac{1 - cos ( 2 θ )}{2}

Reeecreva usando identidades trigonométricas:

cos^{2} (θ) = \frac{1 + cos ( 2 θ )}{2}

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo

cos (2 θ) = 2 cos^{2} (θ) - 1

Trocar lados

2 cos^{2} (θ) - 1 = cos (2 θ)

Adicionar

1

a ambos os lados

2 sin^{2} (θ) = 1 + cos (2 θ)

Dividir ambos os lados por

2

cos^{2} (θ) = \frac{1 + cos ( 2 θ )}{2}

tan^{2} (θ) = \frac{\frac{1 - c o s ( 2 θ )}{2}}{\frac{1 + c o s ( 2 θ )}{2}}

Simplificar

tan^{2} (θ) = \frac{1 - cos ( 2 θ )}{1 + cos ( 2 θ )}

Substituir

θ

por

\frac{θ}{2}

tan^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{1 - cos ( 2 \cdot \frac{θ}{2} )}{1 + cos ( 2 \cdot \frac{θ}{2} )}

Simplificar

tan^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{1 - cos ( θ )}{1 + cos ( θ )}

Square root both sides

Choose the root sign according to the quadrant of

\frac{θ}{2}

range [0, \frac{π}{2}] [\frac{π}{2}, π] quadrant I II tan positive negative

tan (\frac{θ}{2}) = - \frac{1 - cos ( θ )}{1 + cos ( θ )}

= - \frac{1 - cos ( \frac{5 π}{4} )}{1 + cos ( \frac{5 π}{4} )}

= - \frac{1 - cos ( \frac{5 π}{4} )}{1 + cos ( \frac{5 π}{4} )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas:

cos (\frac{5 π}{4}) = - \frac{2}{2}

cos (\frac{5 π}{4})

Reeecreva usando identidades trigonométricas:

cos (π) cos (\frac{π}{4}) - sin (π) sin (\frac{π}{4})

cos (\frac{5 π}{4})

Escrever

cos (\frac{5 π}{4})

como

cos (π + \frac{π}{4})

= cos (π + \frac{π}{4})

Use a identidade de soma de ângulos:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= cos (π) cos (\frac{π}{4}) - sin (π) sin (\frac{π}{4})

= cos (π) cos (\frac{π}{4}) - sin (π) sin (\frac{π}{4})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

cos (π) = (- 1)

cos (π)

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= (- 1)

Utilizar a seguinte identidade trivial:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

cos (\frac{π}{4})

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

Utilizar a seguinte identidade trivial:

sin (π) = 0

sin (π)

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= 0

Utilizar a seguinte identidade trivial:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (\frac{π}{4})

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{2}{2}

= (- 1) \frac{2}{2} - 0 \cdot \frac{2}{2}

Simplificar

= - \frac{2}{2}

= - \frac{1 - ( - \frac{2}{2} )}{1 - \frac{2}{2}}

Simplificar

- \frac{1 - ( - \frac{2}{2} )}{1 - \frac{2}{2}} : - 3 + 22

- \frac{1 - ( - \frac{2}{2} )}{1 - \frac{2}{2}}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= - \frac{1 + \frac{2}{2}}{1 - \frac{2}{2}}

\frac{1 + \frac{2}{2}}{1 - \frac{2}{2}} = \frac{2 + 1}{2 - 1}

\frac{1 + \frac{2}{2}}{1 - \frac{2}{2}}

Simplificar

1 - \frac{2}{2}

em uma fração:

\frac{2 - 2}{2}

1 - \frac{2}{2}

Converter para fração:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2} - \frac{2}{2}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 - 2}{2}

Multiplicar os números:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2 - 2}{2}

= \frac{1 + \frac{2}{2}}{\frac{2 - 2}{2}}

Simplificar

1 + \frac{2}{2}

em uma fração:

\frac{2 + 2}{2}

1 + \frac{2}{2}

Converter para fração:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{2}{2}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 + 2}{2}

Multiplicar os números:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2 + 2}{2}

= \frac{\frac{2 + 2}{2}}{\frac{2 - 2}{2}}

Dividir frações:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( 2 + 2 ) \cdot 2}{2 ( 2 - 2 )}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{2 + 2}{2 - 2}

Fatorar

2 + 2 : 2 (2 + 1)

2 + 2

2 = 22

= 22 + 2

Fatorar o termo comum

2

= 2 (2 + 1)

= \frac{2 ( 2 + 1 )}{2 - 2}

Fatorar

2 - 2 : 2 (2 - 1)

2 - 2

2 = 22

= 22 - 2

Fatorar o termo comum

2

= 2 (2 - 1)

= \frac{2 ( 2 + 1 )}{2 ( 2 - 1 )}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{2 + 1}{2 - 1}

= - \frac{1 + 2}{2 - 1}

\frac{2 + 1}{2 - 1} = 3 + 22

\frac{2 + 1}{2 - 1}

Multiplicar pelo conjugado

\frac{2 + 1}{2 + 1}

= \frac{( 2 + 1 ) ( 2 + 1 )}{( 2 - 1 ) ( 2 + 1 )}

(2 + 1) (2 + 1) = 3 + 22

(2 + 1) (2 + 1)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

(2 + 1) (2 + 1) = (2 + 1)^{1 + 1}

= (2 + 1)^{1 + 1}

Somar:

1 + 1 = 2

= (2 + 1)^{2}

Aplique a fórmula do quadrado perfeito:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 2, b = 1

= (2)^{2} + 22 \cdot 1 + 1^{2}

Simplificar

(2)^{2} + 22 \cdot 1 + 1^{2} : 3 + 22

(2)^{2} + 22 \cdot 1 + 1^{2}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= (2)^{2} + 2 \cdot 1 \cdot 2 + 1

(2)^{2} = 2

(2)^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (2^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= 1

= 2

22 \cdot 1 = 22

22 \cdot 1

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= 22

= 2 + 22 + 1

Somar:

2 + 1 = 3

= 3 + 22

= 3 + 22

(2 - 1) (2 + 1) = 1

(2 - 1) (2 + 1)

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

a = 2, b = 1

= (2)^{2} - 1^{2}

Simplificar

(2)^{2} - 1^{2} : 1

(2)^{2} - 1^{2}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= (2)^{2} - 1

(2)^{2} = 2

(2)^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (2^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= 1

= 2

= 2 - 1

Subtrair:

2 - 1 = 1

= 1

= 1

= \frac{3 + 2 2}{1}

Aplicar a regra

\frac{a}{1} = a

= 3 + 22

= - 3 + 22

= - 3 + 22

Exemplos populares

sin(100)

sin (10 0^{\circ})

sec(60)

sec (6 0^{\circ})

tan(270)

tan (27 0^{\circ})

2sin(θ)+sqrt(2)=0

2 sin (θ) + 2 = 0

cos(315)

cos (31 5^{\circ})