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4-4sin(θ)=4cos(θ)

Soluzione

4 - 4 sin (θ) = 4 cos (θ)

Soluzione

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = 2 πn

Gradi

θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

4 - 4 sin (θ) = 4 cos (θ)

Eleva entrambi i lati al quadrato

(4 - 4 sin (θ))^{2} = (4 cos (θ))^{2}

Sottrarre

(4 cos (θ))^{2}

da entrambi i lati

(4 - 4 sin (θ))^{2} - 16 cos^{2} (θ) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

(4 - 4 sin (θ))^{2} - 16 cos^{2} (θ)

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (4 - 4 sin (θ))^{2} - 16 (1 - sin^{2} (θ))

Semplificare

(4 - 4 sin (θ))^{2} - 16 (1 - sin^{2} (θ)) : 32 sin^{2} (θ) - 32 sin (θ)

(4 - 4 sin (θ))^{2} - 16 (1 - sin^{2} (θ))

(4 - 4 sin (θ))^{2} : 16 - 32 sin (θ) + 16 sin^{2} (θ)

Applicare la formula del quadrato perfetto:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 4, b = 4 sin (θ)

= 4^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 4 sin (θ) + (4 sin (θ))^{2}

Semplifica

4^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 4 sin (θ) + (4 sin (θ))^{2} : 16 - 32 sin (θ) + 16 sin^{2} (θ)

4^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 4 sin (θ) + (4 sin (θ))^{2}

4^{2} = 16

4^{2}

4^{2} = 16

= 16

2 \cdot 4 \cdot 4 sin (θ) = 32 sin (θ)

2 \cdot 4 \cdot 4 sin (θ)

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 4 \cdot 4 = 32

= 32 sin (θ)

(4 sin (θ))^{2} = 16 sin^{2} (θ)

(4 sin (θ))^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 4^{2} sin^{2} (θ)

4^{2} = 16

= 16 sin^{2} (θ)

= 16 - 32 sin (θ) + 16 sin^{2} (θ)

= 16 - 32 sin (θ) + 16 sin^{2} (θ)

= 16 - 32 sin (θ) + 16 sin^{2} (θ) - 16 (1 - sin^{2} (θ))

Espandi

- 16 (1 - sin^{2} (θ)) : - 16 + 16 sin^{2} (θ)

- 16 (1 - sin^{2} (θ))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = - 16, b = 1, c = sin^{2} (θ)

= - 16 \cdot 1 - (- 16) sin^{2} (θ)

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a

= - 16 \cdot 1 + 16 sin^{2} (θ)

Moltiplica i numeri:

16 \cdot 1 = 16

= - 16 + 16 sin^{2} (θ)

= 16 - 32 sin (θ) + 16 sin^{2} (θ) - 16 + 16 sin^{2} (θ)

Semplifica

16 - 32 sin (θ) + 16 sin^{2} (θ) - 16 + 16 sin^{2} (θ) : 32 sin^{2} (θ) - 32 sin (θ)

16 - 32 sin (θ) + 16 sin^{2} (θ) - 16 + 16 sin^{2} (θ)

Raggruppa termini simili

= - 32 sin (θ) + 16 sin^{2} (θ) + 16 sin^{2} (θ) + 16 - 16

Aggiungi elementi simili:

16 sin^{2} (θ) + 16 sin^{2} (θ) = 32 sin^{2} (θ)

= - 32 sin (θ) + 32 sin^{2} (θ) + 16 - 16

16 - 16 = 0

= 32 sin^{2} (θ) - 32 sin (θ)

= 32 sin^{2} (θ) - 32 sin (θ)

= 32 sin^{2} (θ) - 32 sin (θ)

- 32 sin (θ) + 32 sin^{2} (θ) = 0

Risolvi per sostituzione

- 32 sin (θ) + 32 sin^{2} (θ) = 0

Sia:

sin (θ) = u

- 32 u + 32 u^{2} = 0

- 32 u + 32 u^{2} = 0 : u = 1, u = 0

- 32 u + 32 u^{2} = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

32 u^{2} - 32 u = 0

Risolvi con la formula quadratica

32 u^{2} - 32 u = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 32, b = - 32, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 32 ) \pm ( - 32 ) ^{2} - 4 \cdot 32 \cdot 0}{2 \cdot 32}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 32 ) \pm ( - 32 ) ^{2} - 4 \cdot 32 \cdot 0}{2 \cdot 32}

(- 32)^{2} - 4 \cdot 32 \cdot 0 = 32

(- 32)^{2} - 4 \cdot 32 \cdot 0

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 32)^{2} = 3 2^{2}

= 3 2^{2} - 4 \cdot 32 \cdot 0

Applicare la regola

0 \cdot a = 0

= 3 2^{2} - 0

3 2^{2} - 0 = 3 2^{2}

= 3 2^{2}

Applicare la regola della radice:

assumendo

a \geq 0

= 32

u_{1, 2} = \frac{- ( - 32 ) \pm 32}{2 \cdot 32}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- ( - 32 ) + 32}{2 \cdot 32}, u_{2} = \frac{- ( - 32 ) - 32}{2 \cdot 32}

u = \frac{- ( - 32 ) + 32}{2 \cdot 32} : 1

\frac{- ( - 32 ) + 32}{2 \cdot 32}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{32 + 32}{2 \cdot 32}

Aggiungi i numeri:

32 + 32 = 64

= \frac{64}{2 \cdot 32}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 32 = 64

= \frac{64}{64}

Applicare la regola

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 32 ) - 32}{2 \cdot 32} : 0

\frac{- ( - 32 ) - 32}{2 \cdot 32}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{32 - 32}{2 \cdot 32}

Sottrai i numeri:

32 - 32 = 0

= \frac{0}{2 \cdot 32}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 32 = 64

= \frac{0}{64}

Applicare la regola

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = 1, u = 0

Sostituire indietro

u = sin (θ)

sin (θ) = 1, sin (θ) = 0

sin (θ) = 1, sin (θ) = 0

sin (θ) = 1 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (θ) = 1

Soluzioni generali per

sin (θ) = 1

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (θ) = 0 : θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

sin (θ) = 0

Soluzioni generali per

sin (θ) = 0

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

Risolvi

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Verifica le soluzioni inserendole nell' equazione originale

Verifica le soluzioni sostituendole in

4 - 4 sin (θ) = 4 cos (θ)

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Verificare la soluzione

\frac{π}{2} + 2 πn :

Vero

\frac{π}{2} + 2 πn

Inserire in

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Per

4 - 4 sin (θ) = 4 cos (θ)

inserisci la

θ = \frac{π}{2} + 2 π 1

4 - 4 sin (\frac{π}{2} + 2 π 1) = 4 cos (\frac{π}{2} + 2 π 1)

Affinare

0 = 0

\Rightarrow Vero

Verificare la soluzione

2 πn :

Vero

2 πn

Inserire in

n = 1

2 π 1

Per

4 - 4 sin (θ) = 4 cos (θ)

inserisci la

θ = 2 π 1

4 - 4 sin (2 π 1) = 4 cos (2 π 1)

Affinare

4 = 4

\Rightarrow Vero

Verificare la soluzione

π + 2 πn :

Falso

π + 2 πn

Inserire in

n = 1

π + 2 π 1

Per

4 - 4 sin (θ) = 4 cos (θ)

inserisci la

θ = π + 2 π 1

4 - 4 sin (π + 2 π 1) = 4 cos (π + 2 π 1)

Affinare

4 = - 4

\Rightarrow Falso

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = 2 πn

Esempi popolari

sec^2(x)-2tan(x)-4=0

sec^{2} (x) - 2 tan (x) - 4 = 0

cos(40-x)=cos(x)

cos (4 0^{\circ} - x) = cos (x)

cos(x)-1=sqrt(3)sin(x)

cos (x) - 1 = 3 sin (x)

cos(x)((cos(x))/(sin(x)))+sin(x)=sec(x)

cos (x) (\frac{cos ( x )}{sin ( x )}) + sin (x) = sec (x)

cos(2t)-sin(t)=0.5

cos (2 t) - sin (t) = 0.5