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sin^2(x)+cos^4(x)=n

Lösung

sin^{2} (x) + cos^{4} (x) = n

Lösung

x = arccos \frac{1 + 4 n - 3}{2} + 2 πk, x = - arccos \frac{1 + 4 n - 3}{2} + 2 πk, x = arccos - \frac{1 + 4 n - 3}{2} + 2 πk, x = - arccos - \frac{1 + 4 n - 3}{2} + 2 πk, x = arccos \frac{1 - 4 n - 3}{2} + 2 πk, x = - arccos \frac{1 - 4 n - 3}{2} + 2 πk, x = arccos - \frac{1 - 4 n - 3}{2} + 2 πk, x = - arccos - \frac{1 - 4 n - 3}{2} + 2 πk

Schritte zur Lösung

sin^{2} (x) + cos^{4} (x) = n

Subtrahiere

n

von beiden Seiten

sin^{2} (x) + cos^{4} (x) - n = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos^{4} (x) + sin^{2} (x) - n

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= cos^{4} (x) + 1 - cos^{2} (x) - n

1 - cos^{2} (x) + cos^{4} (x) - n = 0

Löse mit Substitution

1 - cos^{2} (x) + cos^{4} (x) - n = 0

Angenommen:

cos (x) = u

1 - u^{2} + u^{4} - n = 0

1 - u^{2} + u^{4} - n = 0 : u = \frac{1 + 4 n - 3}{2}, u = - \frac{1 + 4 n - 3}{2}, u = \frac{1 - 4 n - 3}{2}, u = - \frac{1 - 4 n - 3}{2}

1 - u^{2} + u^{4} - n = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{4} - u^{2} + 1 - n = 0

Schreibe die Gleichung um mit

v = u^{2}

und

v^{2} = u^{4}

v^{2} - v + 1 - n = 0

Löse

v^{2} - v + 1 - n = 0 : v = \frac{1 + 4 n - 3}{2}, v = \frac{1 - 4 n - 3}{2}

v^{2} - v + 1 - n = 0

Löse mit der quadratischen Formel

v^{2} - v + 1 - n = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - 1, c = 1 - n

v_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( 1 - n )}{2 \cdot 1}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( 1 - n )}{2 \cdot 1}

Vereinfache

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (1 - n) : 4 n - 3

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (1 - n)

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot (1 - n) = 4 (1 - n)

4 \cdot 1 \cdot (1 - n)

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= 4 (- n + 1)

= 1 - 4 (- n + 1)

Multipliziere aus

1 - 4 (1 - n) : 4 n - 3

1 - 4 (1 - n)

Multipliziere aus

- 4 (1 - n) : - 4 + 4 n

- 4 (1 - n)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 4, b = 1, c = n

= - 4 \cdot 1 - (- 4) n

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 4 \cdot 1 + 4 n

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= - 4 + 4 n

= 1 - 4 + 4 n

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 4 = - 3

= 4 n - 3

= 4 n - 3

v_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 4 n - 3}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

v_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 4 n - 3}{2 \cdot 1}, v_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 4 n - 3}{2 \cdot 1}

v = \frac{- ( - 1 ) + 4 n - 3}{2 \cdot 1} : \frac{1 + 4 n - 3}{2}

\frac{- ( - 1 ) + 4 n - 3}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 + 4 n - 3}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{1 + 4 n - 3}{2}

v = \frac{- ( - 1 ) - 4 n - 3}{2 \cdot 1} : \frac{1 - 4 n - 3}{2}

\frac{- ( - 1 ) - 4 n - 3}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 - 4 n - 3}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{1 - 4 n - 3}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

v = \frac{1 + 4 n - 3}{2}, v = \frac{1 - 4 n - 3}{2}

v = \frac{1 + 4 n - 3}{2}, v = \frac{1 - 4 n - 3}{2}

Setze

v = u^{2} w i e d er e in,

löse für

u

Löse

u^{2} = \frac{1 + 4 n - 3}{2} : u = \frac{1 + 4 n - 3}{2}, u = - \frac{1 + 4 n - 3}{2}

u^{2} = \frac{1 + 4 n - 3}{2}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1 + 4 n - 3}{2}, u = - \frac{1 + 4 n - 3}{2}

Löse

u^{2} = \frac{1 - 4 n - 3}{2} : u = \frac{1 - 4 n - 3}{2}, u = - \frac{1 - 4 n - 3}{2}

u^{2} = \frac{1 - 4 n - 3}{2}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1 - 4 n - 3}{2}, u = - \frac{1 - 4 n - 3}{2}

Die Lösungen sind

u = \frac{1 + 4 n - 3}{2}, u = - \frac{1 + 4 n - 3}{2}, u = \frac{1 - 4 n - 3}{2}, u = - \frac{1 - 4 n - 3}{2}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{1 + 4 n - 3}{2}, cos (x) = - \frac{1 + 4 n - 3}{2}, cos (x) = \frac{1 - 4 n - 3}{2}, cos (x) = - \frac{1 - 4 n - 3}{2}

cos (x) = \frac{1 + 4 n - 3}{2}, cos (x) = - \frac{1 + 4 n - 3}{2}, cos (x) = \frac{1 - 4 n - 3}{2}, cos (x) = - \frac{1 - 4 n - 3}{2}

cos (x) = \frac{1 + 4 n - 3}{2} : x = arccos \frac{1 + 4 n - 3}{2} + 2 πk, x = - arccos \frac{1 + 4 n - 3}{2} + 2 πk

cos (x) = \frac{1 + 4 n - 3}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{1 + 4 n - 3}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1 + 4 n - 3}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πk, x = - arccos (a) + 2 πk

x = arccos \frac{1 + 4 n - 3}{2} + 2 πk, x = - arccos \frac{1 + 4 n - 3}{2} + 2 πk

x = arccos \frac{1 + 4 n - 3}{2} + 2 πk, x = - arccos \frac{1 + 4 n - 3}{2} + 2 πk

cos (x) = - \frac{1 + 4 n - 3}{2} : x = arccos - \frac{1 + 4 n - 3}{2} + 2 πk, x = - arccos - \frac{1 + 4 n - 3}{2} + 2 πk

cos (x) = - \frac{1 + 4 n - 3}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{1 + 4 n - 3}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{1 + 4 n - 3}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πk, x = - arccos (a) + 2 πk

x = arccos - \frac{1 + 4 n - 3}{2} + 2 πk, x = - arccos - \frac{1 + 4 n - 3}{2} + 2 πk

x = arccos - \frac{1 + 4 n - 3}{2} + 2 πk, x = - arccos - \frac{1 + 4 n - 3}{2} + 2 πk

cos (x) = \frac{1 - 4 n - 3}{2} : x = arccos \frac{1 - 4 n - 3}{2} + 2 πk, x = - arccos \frac{1 - 4 n - 3}{2} + 2 πk

cos (x) = \frac{1 - 4 n - 3}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{1 - 4 n - 3}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1 - 4 n - 3}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πk, x = - arccos (a) + 2 πk

x = arccos \frac{1 - 4 n - 3}{2} + 2 πk, x = - arccos \frac{1 - 4 n - 3}{2} + 2 πk

x = arccos \frac{1 - 4 n - 3}{2} + 2 πk, x = - arccos \frac{1 - 4 n - 3}{2} + 2 πk

cos (x) = - \frac{1 - 4 n - 3}{2} : x = arccos - \frac{1 - 4 n - 3}{2} + 2 πk, x = - arccos - \frac{1 - 4 n - 3}{2} + 2 πk

cos (x) = - \frac{1 - 4 n - 3}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{1 - 4 n - 3}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{1 - 4 n - 3}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πk, x = - arccos (a) + 2 πk

x = arccos - \frac{1 - 4 n - 3}{2} + 2 πk, x = - arccos - \frac{1 - 4 n - 3}{2} + 2 πk

x = arccos - \frac{1 - 4 n - 3}{2} + 2 πk, x = - arccos - \frac{1 - 4 n - 3}{2} + 2 πk

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos \frac{1 + 4 n - 3}{2} + 2 πk, x = - arccos \frac{1 + 4 n - 3}{2} + 2 πk, x = arccos - \frac{1 + 4 n - 3}{2} + 2 πk, x = - arccos - \frac{1 + 4 n - 3}{2} + 2 πk, x = arccos \frac{1 - 4 n - 3}{2} + 2 πk, x = - arccos \frac{1 - 4 n - 3}{2} + 2 πk, x = arccos - \frac{1 - 4 n - 3}{2} + 2 πk, x = - arccos - \frac{1 - 4 n - 3}{2} + 2 πk

Beliebte Beispiele

0=sin(t)

0 = sin (t)

csc^2(x)+sec^2(x)=1

csc^{2} (x) + sec^{2} (x) = 1

solvefor x,z=arctan(xy)löse nach

x, z = arctan (x y)

4(1+sin(θ))sin(θ)=3

4 (1 + sin (θ)) sin (θ) = 3

cos(x)+1=-cos(2x)

cos (x) + 1 = - cos (2 x)