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sin(x)+sin^2(x)+sin^3(x)=0

Lösung

sin (x) + sin^{2} (x) + sin^{3} (x) = 0

Lösung

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Grad

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin (x) + sin^{2} (x) + sin^{3} (x) = 0

Löse mit Substitution

sin (x) + sin^{2} (x) + sin^{3} (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

u + u^{2} + u^{3} = 0

u + u^{2} + u^{3} = 0 : u = 0, u = - \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

u + u^{2} + u^{3} = 0

Faktorisiere

u + u^{2} + u^{3} : u (u^{2} + u + 1)

u + u^{2} + u^{3}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= u^{2} u + uu + u

Klammere gleiche Terme aus

u

= u (u^{2} + u + 1)

u (u^{2} + u + 1) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u = 0 or u^{2} + u + 1 = 0

Löse

u^{2} + u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

u^{2} + u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} + u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = 1, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

Vereinfache

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 : 3 i

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 1 - 4

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 4 = - 3

= - 3

Wende Radikal Regel an:

- a = - 1 a

- 3 = - 1 3

= - 1 3

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- 1 = i

= 3 i

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 3 i}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 1 + 3 i}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 1 - 3 i}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 1 + 3 i}{2 \cdot 1} : - \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}

\frac{- 1 + 3 i}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 + 3 i}{2}

Schreibe

\frac{- 1 + 3 i}{2}

in der Standard komplexen Form um:

- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i

\frac{- 1 + 3 i}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 + 3 i}{2} = - \frac{1}{2} + \frac{3 i}{2}

= - \frac{1}{2} + \frac{3 i}{2}

= - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i

u = \frac{- 1 - 3 i}{2 \cdot 1} : - \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

\frac{- 1 - 3 i}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 - 3 i}{2}

Schreibe

\frac{- 1 - 3 i}{2}

in der Standard komplexen Form um:

- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i

\frac{- 1 - 3 i}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 - 3 i}{2} = - \frac{1}{2} - \frac{3 i}{2}

= - \frac{1}{2} - \frac{3 i}{2}

= - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

Die Lösungen sind

u = 0, u = - \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = 0, sin (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}, sin (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

sin (x) = 0, sin (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}, sin (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (x) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{3}{2} :

Keine Lösung

sin (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}

Keine L \overset{o}{¨} sung

sin (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{3}{2} :

Keine Lösung

sin (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Beliebte Beispiele

tan(t)=4

tan (t) = 4

cos(x/3)=sin(x)

cos (\frac{x}{3}) = sin (x)

1+4*sin(x)=2

1 + 4 \cdot sin (x) = 2

cos(θ)= 7/8

cos (θ) = \frac{7}{8}

sec(x)(2sin(x)+1)-2(2sin(x)+1)=0

sec (x) (2 sin (x) + 1) - 2 (2 sin (x) + 1) = 0