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solvefor u,x=5sinh(u)

Lösung

löse nach

u, x = 5 sinh (u)

Lösung

u = ln (\frac{x + x ^{2} + 25}{5}), u = ln (\frac{x - x ^{2} + 25}{5})

Schritte zur Lösung

x = 5 sinh (u)

Tausche die Seiten

5 sinh (u) = x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

5 sinh (u) = x

Hyperbolische Identität anwenden:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

5 \cdot \frac{e ^{u} - e ^{- u}}{2} = x

5 \cdot \frac{e ^{u} - e ^{- u}}{2} = x

5 \cdot \frac{e ^{u} - e ^{- u}}{2} = x : u = ln (\frac{x + x ^{2} + 25}{5}), u = ln (\frac{x - x ^{2} + 25}{5})

5 \cdot \frac{e ^{u} - e ^{- u}}{2} = x

Wende Exponentenregel an

5 \cdot \frac{e ^{u} - e ^{- u}}{2} = x

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- u} = (e^{u})^{- 1}

5 \cdot \frac{e ^{u} - ( e ^{u} ) ^{- 1}}{2} = x

5 \cdot \frac{e ^{u} - ( e ^{u} ) ^{- 1}}{2} = x

Schreibe die Gleichung um mit

e^{u} = v

5 \cdot \frac{v - v ^{- 1}}{2} = x

Löse

5 \cdot \frac{v - v ^{- 1}}{2} = x : v = \frac{x + x ^{2} + 25}{5}, v = \frac{x - x ^{2} + 25}{5}

5 \cdot \frac{v - v ^{- 1}}{2} = x

Fasse zusammen

\frac{5 ( v ^{2} - 1 )}{2 v} = x

Multipliziere beide Seiten mit

v

\frac{5 ( v ^{2} - 1 )}{2 v} = x

Multipliziere beide Seiten mit

v

\frac{5 ( v ^{2} - 1 )}{2 v} v = xv

Vereinfache

\frac{5 ( v ^{2} - 1 )}{2} = xv

\frac{5 ( v ^{2} - 1 )}{2} = xv

Löse

\frac{5 ( v ^{2} - 1 )}{2} = xv : v = \frac{x + x ^{2} + 25}{5}, v = \frac{x - x ^{2} + 25}{5}

\frac{5 ( v ^{2} - 1 )}{2} = xv

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{5 ( v ^{2} - 1 )}{2} = xv

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{5 ( v ^{2} - 1 )}{2} \cdot 2 = xv \cdot 2

Vereinfache

5 (v^{2} - 1) = 2 xv

5 (v^{2} - 1) = 2 xv

Schreibe

5 (v^{2} - 1)

um:

5 v^{2} - 5

5 (v^{2} - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 5, b = v^{2}, c = 1

= 5 v^{2} - 5 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 1 = 5

= 5 v^{2} - 5

5 v^{2} - 5 = 2 xv

Verschiebe

2 xv

auf die linke Seite

5 v^{2} - 5 = 2 xv

Subtrahiere

2 xv

von beiden Seiten

5 v^{2} - 5 - 2 xv = 2 xv - 2 xv

Vereinfache

5 v^{2} - 5 - 2 xv = 0

5 v^{2} - 5 - 2 xv = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

5 v^{2} - 2 xv - 5 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

5 v^{2} - 2 xv - 5 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 5, b = - 2 x, c = - 5

v_{1, 2} = \frac{- ( - 2 x ) \pm ( - 2 x ) ^{2} - 4 \cdot 5 ( - 5 )}{2 \cdot 5}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 2 x ) \pm ( - 2 x ) ^{2} - 4 \cdot 5 ( - 5 )}{2 \cdot 5}

Vereinfache

(- 2 x)^{2} - 4 \cdot 5 (- 5) : 2 x^{2} + 25

(- 2 x)^{2} - 4 \cdot 5 (- 5)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 2 x)^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 5

(- 2 x)^{2} = 2^{2} x^{2}

(- 2 x)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2 x)^{2} = (2 x)^{2}

= (2 x)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} x^{2}

4 \cdot 5 \cdot 5 = 100

4 \cdot 5 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 5 \cdot 5 = 100

= 100

= 2^{2} x^{2} + 100

Faktorisiere

2^{2} x^{2} + 100 : 4 (x^{2} + 25)

2^{2} x^{2} + 100

Schreibe um

= 4 x^{2} + 4 \cdot 25

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (x^{2} + 25)

= 4 (x^{2} + 25)

Wende Radikal Regel an:

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= 4 x^{2} + 25

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

2^{2} = 2

= 2

= 2 x^{2} + 25

v_{1, 2} = \frac{- ( - 2 x ) \pm 2 x ^{2} + 25}{2 \cdot 5}

Trenne die Lösungen

v_{1} = \frac{- ( - 2 x ) + 2 x ^{2} + 25}{2 \cdot 5}, v_{2} = \frac{- ( - 2 x ) - 2 x ^{2} + 25}{2 \cdot 5}

v = \frac{- ( - 2 x ) + 2 x ^{2} + 25}{2 \cdot 5} : \frac{x + x ^{2} + 25}{5}

\frac{- ( - 2 x ) + 2 x ^{2} + 25}{2 \cdot 5}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 x + 2 x ^{2} + 25}{2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{2 x + 2 x ^{2} + 25}{10}

Klammere gleiche Terme aus

2

= \frac{2 ( x + x ^{2} + 25 )}{10}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{x + x ^{2} + 25}{5}

v = \frac{- ( - 2 x ) - 2 x ^{2} + 25}{2 \cdot 5} : \frac{x - x ^{2} + 25}{5}

\frac{- ( - 2 x ) - 2 x ^{2} + 25}{2 \cdot 5}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 x - 2 x ^{2} + 25}{2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{2 x - 2 x ^{2} + 25}{10}

Klammere gleiche Terme aus

2

= \frac{2 ( x - x ^{2} + 25 )}{10}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{x - x ^{2} + 25}{5}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

v = \frac{x + x ^{2} + 25}{5}, v = \frac{x - x ^{2} + 25}{5}

v = \frac{x + x ^{2} + 25}{5}, v = \frac{x - x ^{2} + 25}{5}

v = \frac{x + x ^{2} + 25}{5}, v = \frac{x - x ^{2} + 25}{5}

Setze

v = e^{u} w i e d er e in,

löse für

u

Löse

e^{u} = \frac{x + x ^{2} + 25}{5} : u = ln (\frac{x + x ^{2} + 25}{5})

e^{u} = \frac{x + x ^{2} + 25}{5}

Wende Exponentenregel an

e^{u} = \frac{x + x ^{2} + 25}{5}

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{u}) = ln (\frac{x + x ^{2} + 25}{5})

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{u}) = u

u = ln (\frac{x + x ^{2} + 25}{5})

u = ln (\frac{x + x ^{2} + 25}{5})

Löse

e^{u} = \frac{x - x ^{2} + 25}{5} : u = ln (\frac{x - x ^{2} + 25}{5})

e^{u} = \frac{x - x ^{2} + 25}{5}

Wende Exponentenregel an

e^{u} = \frac{x - x ^{2} + 25}{5}

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{u}) = ln (\frac{x - x ^{2} + 25}{5})

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{u}) = u

u = ln (\frac{x - x ^{2} + 25}{5})

u = ln (\frac{x - x ^{2} + 25}{5})

u = ln (\frac{x + x ^{2} + 25}{5}), u = ln (\frac{x - x ^{2} + 25}{5})

u = ln (\frac{x + x ^{2} + 25}{5}), u = ln (\frac{x - x ^{2} + 25}{5})

Beliebte Beispiele

sin(pi/2 x)+1=0

sin (\frac{π}{2} x) + 1 = 0

3tan^2(x)-tan(x)=0

3 tan^{2} (x) - tan (x) = 0

sin(2x)=-1/2 ,0<= x<= 2pi

sin (2 x) = - \frac{1}{2}, 0 \leq x \leq 2 π

solvefor x,2sin(x)-sqrt(3)=0 löse nach

x, 2 sin (x) - 3 = 0

cot(θ+100)=0

cot (θ + 10 0^{\circ}) = 0