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4cos(x)-1=2sin(x)tan(x)

Solution

4 cos (x) - 1 = 2 sin (x) tan (x)

Solution

x = 0.84106 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.84106 \dots + 2 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Degrés

x = 48.18968 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 311.81031 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

4 cos (x) - 1 = 2 sin (x) tan (x)

Soustraire

2 sin (x) tan (x)

des deux côtés

4 cos (x) - 1 - 2 sin (x) tan (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- 1 + 4 cos (x) - 2 sin (x) tan (x)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - 1 + 4 cos (x) - 2 sin (x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

2 sin (x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{2 sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

2 sin (x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) \cdot 2 sin ( x )}{cos ( x )}

sin (x) \cdot 2 sin (x) = 2 sin^{2} (x)

sin (x) \cdot 2 sin (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= 2 sin^{1 + 1} (x)

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= 2 sin^{2} (x)

= \frac{2 sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

= - 1 + 4 cos (x) - \frac{2 sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 1 - \frac{2 ( 1 - cos ^{2} ( x ) )}{cos ( x )} + 4 cos (x)

Combiner les fractions

- \frac{2 ( - cos ^{2} ( x ) + 1 )}{cos ( x )} + 4 cos (x) : \frac{- 2 + 6 cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

- \frac{2 ( - cos ^{2} ( x ) + 1 )}{cos ( x )} + 4 cos (x)

Convertir un élément en fraction:

4 cos (x) = \frac{4 cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

= - \frac{2 ( 1 - cos ^{2} ( x ) )}{cos ( x )} + \frac{4 cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 2 ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) + 4 cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

- 2 (1 - cos^{2} (x)) + 4 cos (x) cos (x) = - 2 (1 - cos^{2} (x)) + 4 cos^{2} (x)

- 2 (1 - cos^{2} (x)) + 4 cos (x) cos (x)

4 cos (x) cos (x) = 4 cos^{2} (x)

4 cos (x) cos (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= 4 cos^{1 + 1} (x)

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= 4 cos^{2} (x)

= - 2 (- cos^{2} (x) + 1) + 4 cos^{2} (x)

= \frac{- 2 ( - cos ^{2} ( x ) + 1 ) + 4 cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

Développer

- 2 (1 - cos^{2} (x)) + 4 cos^{2} (x) : - 2 + 6 cos^{2} (x)

- 2 (1 - cos^{2} (x)) + 4 cos^{2} (x)

Développer

- 2 (1 - cos^{2} (x)) : - 2 + 2 cos^{2} (x)

- 2 (1 - cos^{2} (x))

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2, b = 1, c = cos^{2} (x)

= - 2 \cdot 1 - (- 2) cos^{2} (x)

Appliquer les règles des moins et des plus

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 + 2 cos^{2} (x)

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= - 2 + 2 cos^{2} (x)

= - 2 + 2 cos^{2} (x) + 4 cos^{2} (x)

Additionner les éléments similaires :

2 cos^{2} (x) + 4 cos^{2} (x) = 6 cos^{2} (x)

= - 2 + 6 cos^{2} (x)

= \frac{- 2 + 6 cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

= \frac{- 2 + 6 cos ^{2} ( x )}{cos ( x )} - 1

- 1 + \frac{- 2 + 6 cos ^{2} ( x )}{cos ( x )} = 0

- 1 + \frac{- 2 + 6 cos ^{2} ( x )}{cos ( x )} = 0

Résoudre par substitution

- 1 + \frac{- 2 + 6 cos ^{2} ( x )}{cos ( x )} = 0

Soit :

cos (x) = u

- 1 + \frac{- 2 + 6 u ^{2}}{u} = 0

- 1 + \frac{- 2 + 6 u ^{2}}{u} = 0 : u = \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{2}

- 1 + \frac{- 2 + 6 u ^{2}}{u} = 0

Multiplier les deux côtés par

u

- 1 + \frac{- 2 + 6 u ^{2}}{u} = 0

Multiplier les deux côtés par

u

- 1 \cdot u + \frac{- 2 + 6 u ^{2}}{u} u = 0 \cdot u

Simplifier

- 1 \cdot u + \frac{- 2 + 6 u ^{2}}{u} u = 0 \cdot u

Simplifier

- 1 \cdot u : - u

- 1 \cdot u

Multiplier:

1 \cdot u = u

= - u

Simplifier

\frac{- 2 + 6 u ^{2}}{u} u : - 2 + 6 u^{2}

\frac{- 2 + 6 u ^{2}}{u} u

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( - 2 + 6 u ^{2} ) u}{u}

Annuler le facteur commun :

u

= - - 2 + 6 u^{2}

Simplifier

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Appliquer la règle

0 \cdot a = 0

= 0

- u - 2 + 6 u^{2} = 0

- u - 2 + 6 u^{2} = 0

- u - 2 + 6 u^{2} = 0

Résoudre

- u - 2 + 6 u^{2} = 0 : u = \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{2}

- u - 2 + 6 u^{2} = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

6 u^{2} - u - 2 = 0

Résoudre par la formule quadratique

6 u^{2} - u - 2 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 6, b = - 1, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 6 ( - 2 )}{2 \cdot 6}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 6 ( - 2 )}{2 \cdot 6}

(- 1)^{2} - 4 \cdot 6 (- 2) = 7

(- 1)^{2} - 4 \cdot 6 (- 2)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 6 \cdot 2

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 6 \cdot 2 = 48

4 \cdot 6 \cdot 2

Multiplier les nombres :

4 \cdot 6 \cdot 2 = 48

= 48

= 1 + 48

Additionner les nombres :

1 + 48 = 49

= 49

Factoriser le nombre :

49 = 7^{2}

= 7^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

7^{2} = 7

= 7

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 7}{2 \cdot 6}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 7}{2 \cdot 6}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 7}{2 \cdot 6}

u = \frac{- ( - 1 ) + 7}{2 \cdot 6} : \frac{2}{3}

\frac{- ( - 1 ) + 7}{2 \cdot 6}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{1 + 7}{2 \cdot 6}

Additionner les nombres :

1 + 7 = 8

= \frac{8}{2 \cdot 6}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 6 = 12

= \frac{8}{12}

Annuler le facteur commun :

4

= \frac{2}{3}

u = \frac{- ( - 1 ) - 7}{2 \cdot 6} : - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 1 ) - 7}{2 \cdot 6}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{1 - 7}{2 \cdot 6}

Soustraire les nombres :

1 - 7 = - 6

= \frac{- 6}{2 \cdot 6}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 6 = 12

= \frac{- 6}{12}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{12}

Annuler le facteur commun :

6

= - \frac{1}{2}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{2}

u = \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{2}

Vérifier les solutions

Trouver les points non définis (singularité):

u = 0

Prendre le(s) dénominateur(s) de

- 1 + \frac{- 2 + 6 u ^{2}}{u}

et le comparer à zéro

u = 0

Les points suivants ne sont pas définis

u = 0

Combiner des points indéfinis avec des solutions :

u = \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{2}

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = \frac{2}{3}, cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{2}{3}, cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{2}{3} : x = arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2}{3}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = \frac{2}{3}

Solutions générales pour

cos (x) = \frac{2}{3}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2}

Solutions générales pour

cos (x) = - \frac{1}{2}

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = 0.84106 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.84106 \dots + 2 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Exemples populaires

sin(3x+10)=cos(x+20)

sin (3 x + 1 0^{\circ}) = cos (x + 2 0^{\circ})

tan(θ)= 300/400

tan (θ) = \frac{300}{400}

2cot^2(3x)=5csc(3x)-4

2 cot^{2} (3 x) = 5 csc (3 x) - 4

cos(x)=(-sqrt(3))/3

cos (x) = \frac{- 3}{3}

cos(9x)= 1/2

cos (9 x) = \frac{1}{2}