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Popolare >

cos(θ)tan(θ)+cot(θ)=csc(θ)

Soluzione

cos (θ) tan (θ) + cot (θ) = csc (θ)

Soluzione

Nessuna soluzione per θ \in R

Fasi della soluzione

cos (θ) tan (θ) + cot (θ) = csc (θ)

Sottrarre

csc (θ)

da entrambi i lati

cos (θ) tan (θ) + cot (θ) - csc (θ) = 0

Esprimere con sen e cos

cos (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} + \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} - \frac{1}{sin ( θ )} = 0

Semplifica

cos (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} + \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} - \frac{1}{sin ( θ )} : \frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ( θ ) - 1}{sin ( θ )}

cos (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} + \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} - \frac{1}{sin ( θ )}

Combinare le frazioni

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} - \frac{1}{sin ( θ )} : \frac{cos ( θ ) - 1}{sin ( θ )}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( θ ) - 1}{sin ( θ )}

= \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} cos (θ) + \frac{cos ( θ ) - 1}{sin ( θ )}

cos (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = sin (θ)

cos (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( θ ) cos ( θ )}{cos ( θ )}

Cancella il fattore comune:

cos (θ)

= sin (θ)

= sin (θ) + \frac{cos ( θ ) - 1}{sin ( θ )}

Converti l'elemento in frazione:

sin (θ) = \frac{sin ( θ ) sin ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{sin ( θ ) sin ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{cos ( θ ) - 1}{sin ( θ )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( θ ) sin ( θ ) + cos ( θ ) - 1}{sin ( θ )}

sin (θ) sin (θ) + cos (θ) - 1 = sin^{2} (θ) + cos (θ) - 1

sin (θ) sin (θ) + cos (θ) - 1

sin (θ) sin (θ) = sin^{2} (θ)

sin (θ) sin (θ)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (θ) sin (θ) = sin^{1 + 1} (θ)

= sin^{1 + 1} (θ)

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (θ)

= sin^{2} (θ) + cos (θ) - 1

= \frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ( θ ) - 1}{sin ( θ )}

\frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ( θ ) - 1}{sin ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin^{2} (θ) + cos (θ) - 1 = 0

Sottrarre

cos (θ)

da entrambi i lati

sin^{2} (θ) - 1 = - cos (θ)

Eleva entrambi i lati al quadrato

(sin^{2} (θ) - 1)^{2} = (- cos (θ))^{2}

Sottrarre

(- cos (θ))^{2}

da entrambi i lati

(sin^{2} (θ) - 1)^{2} - cos^{2} (θ) = 0

Fattorizza

(sin^{2} (θ) - 1)^{2} - cos^{2} (θ) : (sin^{2} (θ) - 1 + cos (θ)) (sin^{2} (θ) - 1 - cos (θ))

(sin^{2} (θ) - 1)^{2} - cos^{2} (θ)

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(sin^{2} (θ) - 1)^{2} - cos^{2} (θ) = ((sin^{2} (θ) - 1) + cos (θ)) ((sin^{2} (θ) - 1) - cos (θ))

= ((sin^{2} (θ) - 1) + cos (θ)) ((sin^{2} (θ) - 1) - cos (θ))

Affinare

= (sin^{2} (θ) + cos (θ) - 1) (sin^{2} (θ) - cos (θ) - 1)

(sin^{2} (θ) - 1 + cos (θ)) (sin^{2} (θ) - 1 - cos (θ)) = 0

Risolvere ogni parte separatamente

sin^{2} (θ) - 1 + cos (θ) = 0 or sin^{2} (θ) - 1 - cos (θ) = 0

sin^{2} (θ) - 1 + cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = 2 πn

sin^{2} (θ) - 1 + cos (θ) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

- 1 + cos (θ) + sin^{2} (θ)

Usa l'identità pitagorica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= cos (θ) - cos^{2} (θ)

cos (θ) - cos^{2} (θ) = 0

Risolvi per sostituzione

cos (θ) - cos^{2} (θ) = 0

Sia:

cos (θ) = u

u - u^{2} = 0

u - u^{2} = 0 : u = 0, u = 1

u - u^{2} = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} + u = 0

Risolvi con la formula quadratica

- u^{2} + u = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = - 1, b = 1, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 0}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 0}{2 ( - 1 )}

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 0 = 1

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 0

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 (- 1) \cdot 0

Applicare la regola

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 1 \cdot 0

Applicare la regola

0 \cdot a = 0

= 1 + 0

Aggiungi i numeri:

1 + 0 = 1

= 1

Applicare la regola

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1}{2 ( - 1 )}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- 1 + 1}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- 1 - 1}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- 1 + 1}{2 ( - 1 )} : 0

\frac{- 1 + 1}{2 ( - 1 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 1}{- 2 \cdot 1}

Aggiungi/Sottrai i numeri:

- 1 + 1 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{0}{- 2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{2}

Applicare la regola

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

u = \frac{- 1 - 1}{2 ( - 1 )} : 1

\frac{- 1 - 1}{2 ( - 1 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 1}{- 2 \cdot 1}

Sottrai i numeri:

- 1 - 1 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2}{- 2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{2}

Applicare la regola

\frac{a}{a} = 1

= 1

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = 0, u = 1

Sostituire indietro

u = cos (θ)

cos (θ) = 0, cos (θ) = 1

cos (θ) = 0, cos (θ) = 1

cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = 0

Soluzioni generali per

cos (θ) = 0

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = 1 : θ = 2 πn

cos (θ) = 1

Soluzioni generali per

cos (θ) = 1

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = 0 + 2 πn

θ = 0 + 2 πn

Risolvi

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = 2 πn

sin^{2} (θ) - 1 - cos (θ) = 0 : θ = π + 2 πn, θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin^{2} (θ) - 1 - cos (θ) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

- 1 - cos (θ) + sin^{2} (θ)

Usa l'identità pitagorica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= - cos (θ) - cos^{2} (θ)

- cos (θ) - cos^{2} (θ) = 0

Risolvi per sostituzione

- cos (θ) - cos^{2} (θ) = 0

Sia:

cos (θ) = u

- u - u^{2} = 0

- u - u^{2} = 0 : u = - 1, u = 0

- u - u^{2} = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} - u = 0

Risolvi con la formula quadratica

- u^{2} - u = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = - 1, b = - 1, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 0}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 0}{2 ( - 1 )}

(- 1)^{2} - 4 (- 1) \cdot 0 = 1

(- 1)^{2} - 4 (- 1) \cdot 0

Applicare la regola

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 0

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Applicare la regola

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 0 = 0

4 \cdot 1 \cdot 0

Applicare la regola

0 \cdot a = 0

= 0

= 1 + 0

Aggiungi i numeri:

1 + 0 = 1

= 1

Applicare la regola

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 1}{2 ( - 1 )}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 1}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 1}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- ( - 1 ) + 1}{2 ( - 1 )} : - 1

\frac{- ( - 1 ) + 1}{2 ( - 1 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 + 1}{- 2 \cdot 1}

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= \frac{2}{- 2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2}{- 2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{2}

Applicare la regola

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- ( - 1 ) - 1}{2 ( - 1 )} : 0

\frac{- ( - 1 ) - 1}{2 ( - 1 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 - 1}{- 2 \cdot 1}

Sottrai i numeri:

1 - 1 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{0}{- 2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{2}

Applicare la regola

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = - 1, u = 0

Sostituire indietro

u = cos (θ)

cos (θ) = - 1, cos (θ) = 0

cos (θ) = - 1, cos (θ) = 0

cos (θ) = - 1 : θ = π + 2 πn

cos (θ) = - 1

Soluzioni generali per

cos (θ) = - 1

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = π + 2 πn

θ = π + 2 πn

cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = 0

Soluzioni generali per

cos (θ) = 0

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

θ = π + 2 πn, θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Verifica le soluzioni inserendole nell' equazione originale

Verifica le soluzioni sostituendole in

cos (θ) tan (θ) + cot (θ) = csc (θ)

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Verificare la soluzione

\frac{π}{2} + 2 πn :

Falso

\frac{π}{2} + 2 πn

Inserire in

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Per

cos (θ) tan (θ) + cot (θ) = csc (θ)

inserisci la

θ = \frac{π}{2} + 2 π 1

cos (\frac{π}{2} + 2 π 1) tan (\frac{π}{2} + 2 π 1) + cot (\frac{π}{2} + 2 π 1) = csc (\frac{π}{2} + 2 π 1)

“ N o n d e f ini t o “

\Rightarrow Falso

Verificare la soluzione

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

Falso

\frac{3 π}{2} + 2 πn

Inserire in

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

Per

cos (θ) tan (θ) + cot (θ) = csc (θ)

inserisci la

θ = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

cos (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) tan (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) + cot (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) = csc (\frac{3 π}{2} + 2 π 1)

“ N o n d e f ini t o “

\Rightarrow Falso

Verificare la soluzione

2 πn :

Vero

2 πn

Inserire in

n = 1

2 π 1

Per

cos (θ) tan (θ) + cot (θ) = csc (θ)

inserisci la

θ = 2 π 1

cos (2 π 1) tan (2 π 1) + cot (2 π 1) = csc (2 π 1)

Affinare

- \infty = - \infty

\Rightarrow Vero

Verificare la soluzione

π + 2 πn :

Falso

π + 2 πn

Inserire in

n = 1

π + 2 π 1

Per

cos (θ) tan (θ) + cot (θ) = csc (θ)

inserisci la

θ = π + 2 π 1

cos (π + 2 π 1) tan (π + 2 π 1) + cot (π + 2 π 1) = csc (π + 2 π 1)

Affinare

- \infty = \infty

\Rightarrow Falso

θ = 2 πn

Poiché l'equazione è non definita per:

2 πn

Nessuna soluzione per θ \in R

Esempi popolari

tan^2(x)= 1/(cot(x))

tan^{2} (x) = \frac{1}{cot ( x )}

(sin(θ))/(cos(θ))=sqrt(3)

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = 3

48sin^2(x)=48-24cos(x)

48 sin^{2} (x) = 48 - 24 cos (x)

1-4cos(2x)=0

1 - 4 cos (2 x) = 0

1/(sqrt(2))=cos(θ)

\frac{1}{2} = cos (θ)