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Popolare >

(sin(x))/(1+cos(x))=sin(x/2)

Soluzione

\frac{sin ( x )}{1 + cos ( x )} = sin (\frac{x}{2})

Soluzione

x = 4 πn, x = 2 π + 4 πn, x = π + 4 πn, x = 3 π + 4 πn

Gradi

x = 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 36 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 54 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

\frac{sin ( x )}{1 + cos ( x )} = sin (\frac{x}{2})

Sottrarre

sin (\frac{x}{2})

da entrambi i lati

\frac{sin ( x )}{1 + cos ( x )} - sin (\frac{x}{2}) = 0

Semplifica

\frac{sin ( x )}{1 + cos ( x )} - sin (\frac{x}{2}) : \frac{sin ( x ) - sin ( \frac{x}{2} ) ( 1 + cos ( x ) )}{1 + cos ( x )}

\frac{sin ( x )}{1 + cos ( x )} - sin (\frac{x}{2})

Converti l'elemento in frazione:

sin (\frac{x}{2}) = \frac{sin ( \frac{x}{2} ) ( 1 + cos ( x ) )}{1 + cos ( x )}

= \frac{sin ( x )}{1 + cos ( x )} - \frac{sin ( \frac{x}{2} ) ( 1 + cos ( x ) )}{1 + cos ( x )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( x ) - sin ( \frac{x}{2} ) ( 1 + cos ( x ) )}{1 + cos ( x )}

\frac{sin ( x ) - sin ( \frac{x}{2} ) ( 1 + cos ( x ) )}{1 + cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin (x) - sin (\frac{x}{2}) (1 + cos (x)) = 0

Sia:

u = \frac{x}{2}

sin (2 u) - sin (u) (1 + cos (2 u)) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

sin (2 u) - (1 + cos (2 u)) sin (u)

Usare l'Identità Doppio Angolo:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 2 sin (u) cos (u) - sin (u) (1 + cos (2 u))

- (1 + cos (2 u)) sin (u) + 2 cos (u) sin (u) = 0

Fattorizza

- (1 + cos (2 u)) sin (u) + 2 cos (u) sin (u) : sin (u) (- 1 - cos (2 u) + 2 cos (u))

- (1 + cos (2 u)) sin (u) + 2 cos (u) sin (u)

Fattorizzare dal termine comune

sin (u)

= sin (u) (- (1 + cos (2 u)) + 2 cos (u))

Espandi

2 cos (u) - (cos (2 u) + 1) : - 1 - cos (2 u) + 2 cos (u)

- (1 + cos (2 u)) + 2 cos (u)

- (1 + cos (2 u)) : - 1 - cos (2 u)

- (1 + cos (2 u))

Distribuire le parentesi

= - (1) - (cos (2 u))

Applicare le regole di sottrazione-addizione

+ (- a) = - a

= - 1 - cos (2 u)

= - 1 - cos (2 u) + 2 cos (u)

= sin (u) (2 cos (u) - cos (2 u) - 1)

sin (u) (- 1 - cos (2 u) + 2 cos (u)) = 0

Risolvere ogni parte separatamente

sin (u) = 0 or - 1 - cos (2 u) + 2 cos (u) = 0

sin (u) = 0 : u = 2 πn, u = π + 2 πn

sin (u) = 0

Soluzioni generali per

sin (u) = 0

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

u = 0 + 2 πn, u = π + 2 πn

u = 0 + 2 πn, u = π + 2 πn

Risolvi

u = 0 + 2 πn : u = 2 πn

u = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

u = 2 πn

u = 2 πn, u = π + 2 πn

- 1 - cos (2 u) + 2 cos (u) = 0 : u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn, u = 2 πn

- 1 - cos (2 u) + 2 cos (u) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

- 1 - cos (2 u) + 2 cos (u)

Usare l'Identità Doppio Angolo:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - 1 - (2 cos^{2} (u) - 1) + 2 cos (u)

Semplificare

- 1 - (2 cos^{2} (u) - 1) + 2 cos (u) : 2 cos (u) - 2 cos^{2} (u)

- 1 - (2 cos^{2} (u) - 1) + 2 cos (u)

- (2 cos^{2} (u) - 1) : - 2 cos^{2} (u) + 1

- (2 cos^{2} (u) - 1)

Distribuire le parentesi

= - (2 cos^{2} (u)) - (- 1)

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 2 cos^{2} (u) + 1

= - 1 - 2 cos^{2} (u) + 1 + 2 cos (u)

Semplifica

- 1 - 2 cos^{2} (u) + 1 + 2 cos (u) : 2 cos (u) - 2 cos^{2} (u)

- 1 - 2 cos^{2} (u) + 1 + 2 cos (u)

Raggruppa termini simili

= - 2 cos^{2} (u) + 2 cos (u) - 1 + 1

- 1 + 1 = 0

= 2 cos (u) - 2 cos^{2} (u)

= 2 cos (u) - 2 cos^{2} (u)

= 2 cos (u) - 2 cos^{2} (u)

2 cos (u) - 2 cos^{2} (u) = 0

Risolvi per sostituzione

2 cos (u) - 2 cos^{2} (u) = 0

Sia:

cos (u) = u

2 u - 2 u^{2} = 0

2 u - 2 u^{2} = 0 : u = 0, u = 1

2 u - 2 u^{2} = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} + 2 u = 0

Risolvi con la formula quadratica

- 2 u^{2} + 2 u = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = - 2, b = 2, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 0}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 0}{2 ( - 2 )}

2^{2} - 4 (- 2) \cdot 0 = 2

2^{2} - 4 (- 2) \cdot 0

Applicare la regola

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 0

Applicare la regola

0 \cdot a = 0

= 2^{2} + 0

2^{2} + 0 = 2^{2}

= 2^{2}

Applicare la regola della radice:

assumendo

a \geq 0

= 2

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2}{2 ( - 2 )}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- 2 + 2}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- 2 - 2}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- 2 + 2}{2 ( - 2 )} : 0

\frac{- 2 + 2}{2 ( - 2 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a

= \frac{- 2 + 2}{- 2 \cdot 2}

Aggiungi/Sottrai i numeri:

- 2 + 2 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{0}{- 4}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{4}

Applicare la regola

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

u = \frac{- 2 - 2}{2 ( - 2 )} : 1

\frac{- 2 - 2}{2 ( - 2 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a

= \frac{- 2 - 2}{- 2 \cdot 2}

Sottrai i numeri:

- 2 - 2 = - 4

= \frac{- 4}{- 2 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 4}{- 4}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{4}

Applicare la regola

\frac{a}{a} = 1

= 1

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = 0, u = 1

Sostituire indietro

u = cos (u)

cos (u) = 0, cos (u) = 1

cos (u) = 0, cos (u) = 1

cos (u) = 0 : u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (u) = 0

Soluzioni generali per

cos (u) = 0

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (u) = 1 : u = 2 πn

cos (u) = 1

Soluzioni generali per

cos (u) = 1

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

u = 0 + 2 πn

u = 0 + 2 πn

Risolvi

u = 0 + 2 πn : u = 2 πn

u = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

u = 2 πn

u = 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn, u = 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

u = 2 πn, u = π + 2 πn, u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Sostituire indietro

u = \frac{x}{2}

\frac{x}{2} = 2 πn : x = 4 πn

\frac{x}{2} = 2 πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{x}{2} = 2 πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot 2 πn

Semplificare

x = 4 πn

x = 4 πn

\frac{x}{2} = π + 2 πn : x = 2 π + 4 πn

\frac{x}{2} = π + 2 πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{x}{2} = π + 2 πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} = 2 π + 2 \cdot 2 πn

Semplificare

x = 2 π + 4 πn

x = 2 π + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn : x = π + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Semplificare

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Semplificare

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= x

Semplificare

2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn : π + 4 πn

2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{π}{2} = π

2 \cdot \frac{π}{2}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 2}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= π

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= π + 4 πn

x = π + 4 πn

x = π + 4 πn

x = π + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 πn : x = 3 π + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Semplificare

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Semplificare

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= x

Semplificare

2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn : 3 π + 4 πn

2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{3 π}{2} = 3 π

2 \cdot \frac{3 π}{2}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 π 2}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= 3 π

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= 3 π + 4 πn

x = 3 π + 4 πn

x = 3 π + 4 πn

x = 3 π + 4 πn

x = 4 πn, x = 2 π + 4 πn, x = π + 4 πn, x = 3 π + 4 πn

Poiché l'equazione è non definita per:

π + 4 πn, 3 π + 4 πn

x = 4 πn, x = 2 π + 4 πn, x = π + 4 πn, x = 3 π + 4 πn

Esempi popolari

sqrt(2)*cos(x/2)-cos(x)=1

2 \cdot cos (\frac{x}{2}) - cos (x) = 1

2sin(θ)cos(θ)+2sin(θ)-2cos(θ)sin(θ)=0

2 sin (θ) cos (θ) + 2 sin (θ) - 2 cos (θ) sin (θ) = 0

2sin(2x)+2cos(x)=0

2 sin (2 x) + 2 cos (x) = 0

cosh(x)= 3/2

cosh (x) = \frac{3}{2}

(1+tan(t))/(sin(t))=0

\frac{1 + tan ( t )}{sin ( t )} = 0