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2-sin^2(θ)+2sin(θ)=0

Lösung

2 - sin^{2} (θ) + 2 sin (θ) = 0

Lösung

θ = - 0.82132 \dots + 2 πn, θ = π + 0.82132 \dots + 2 πn

Grad

θ = - 47.05859 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 227.05859 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 - sin^{2} (θ) + 2 sin (θ) = 0

Löse mit Substitution

2 - sin^{2} (θ) + 2 sin (θ) = 0

Angenommen:

sin (θ) = u

2 - u^{2} + 2 u = 0

2 - u^{2} + 2 u = 0 : u = 1 - 3, u = 1 + 3

2 - u^{2} + 2 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} + 2 u + 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- u^{2} + 2 u + 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 1, b = 2, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 2}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 2}{2 ( - 1 )}

2^{2} - 4 (- 1) \cdot 2 = 23

2^{2} - 4 (- 1) \cdot 2

Wende Regel an

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 2^{2} + 8

2^{2} = 4

= 4 + 8

Addiere die Zahlen:

4 + 8 = 12

= 12

Primfaktorzerlegung von

12 : 2^{2} \cdot 3

12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

= 3 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

2^{2} = 2

= 23

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 3}{2 ( - 1 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 2 + 2 3}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 3}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- 2 + 2 3}{2 ( - 1 )} : 1 - 3

\frac{- 2 + 2 3}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 2 + 2 3}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 + 2 3}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 2 + 2 3}{2}

Streiche

\frac{- 2 + 2 3}{2} : 3 - 1

\frac{- 2 + 2 3}{2}

Faktorisiere

- 2 + 23 : 2 (- 1 + 3)

- 2 + 23

Schreibe um

= - 2 \cdot 1 + 23

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 1 + 3)

= \frac{2 ( - 1 + 3 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= - 1 + 3

= - (3 - 1)

Setze Klammern

= - (- 1) - (3)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= 1 - 3

u = \frac{- 2 - 2 3}{2 ( - 1 )} : 1 + 3

\frac{- 2 - 2 3}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 2 - 2 3}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 - 2 3}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 2 - 23 = - (2 + 23)

= \frac{2 + 2 3}{2}

Faktorisiere

2 + 23 : 2 (1 + 3)

2 + 23

Schreibe um

= 2 \cdot 1 + 23

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 + 3)

= \frac{2 ( 1 + 3 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 1 + 3

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1 - 3, u = 1 + 3

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = 1 - 3, sin (θ) = 1 + 3

sin (θ) = 1 - 3, sin (θ) = 1 + 3

sin (θ) = 1 - 3 : θ = arcsin (1 - 3) + 2 πn, θ = π + arcsin (- 1 + 3) + 2 πn

sin (θ) = 1 - 3

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (θ) = 1 - 3

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = 1 - 3

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (1 - 3) + 2 πn, θ = π + arcsin (- 1 + 3) + 2 πn

θ = arcsin (1 - 3) + 2 πn, θ = π + arcsin (- 1 + 3) + 2 πn

sin (θ) = 1 + 3 :

Keine Lösung

sin (θ) = 1 + 3

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

θ = arcsin (1 - 3) + 2 πn, θ = π + arcsin (- 1 + 3) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = - 0.82132 \dots + 2 πn, θ = π + 0.82132 \dots + 2 πn

Beliebte Beispiele

tan(θ)=(37.3)/(36.46)

tan (θ) = \frac{37.3}{36.46}

sin(θ)cos(θ)=csc(θ)sec(θ)

sin (θ) cos (θ) = csc (θ) sec (θ)

solvefor a,x=cos(a)löse nach

a, x = cos (a)

sin(1/2*k*r(sqrt(1+(a^2)/(r^2)))-1)=pi

sin (\frac{1}{2} \cdot k \cdot r (1 + \frac{a ^{2}}{r ^{2}}) - 1) = π

3sin(x)=2sec(x)tan(x)

3 sin (x) = 2 sec (x) tan (x)