What is the general solution for solvefor x,y^{(iv)}-16y=-8cosh(2x) ?

The general solution for solvefor x,y^{(iv)}-16y=-8cosh(2x) is

English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Popular >

solvefor x,y^{(iv)}-16y=-8cosh(2x)

Solution

solve for

x, y^{(i v)} - 16 y = - 8 cosh (2 x)

Solution

x = \frac{1}{2} ln - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}, x = ln - - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}, x = \frac{1}{2} ln - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}, x = ln - - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

Solution steps

y^{(i v)} - 16 y = - 8 cosh (2 x)

Switch sides

- 8 cosh (2 x) = y^{i v} - 16 y

Rewrite using trig identities

- 8 cosh (2 x) = y^{i v} - 16 y

Use the Hyperbolic identity:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

- 8 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = y^{i v} - 16 y

- 8 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = y^{i v} - 16 y

- 8 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = y^{i v} - 16 y : x = \frac{1}{2} ln - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}, x = ln - - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}, x = \frac{1}{2} ln - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}, x = ln - - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

- 8 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = y^{i v} - 16 y

Apply exponent rules

- 8 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = y^{i v} - 16 y

Apply exponent rule:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{2 x} = (e^{x})^{2}, e^{- 2 x} = (e^{x})^{- 2}

- 8 \cdot \frac{( e ^{x} ) ^{2} + ( e ^{x} ) ^{- 2}}{2} = y^{i v} - 16 y

- 8 \cdot \frac{( e ^{x} ) ^{2} + ( e ^{x} ) ^{- 2}}{2} = y^{i v} - 16 y

Rewrite the equation with

e^{x} = u

- 8 \cdot \frac{u ^{2} + u ^{- 2}}{2} = y^{i v} - 16 y

Solve

- 8 \cdot \frac{u ^{2} + u ^{- 2}}{2} = y^{i v} - 16 y : u = - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}, u = - - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}, u = - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}, u = - - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

- 8 \cdot \frac{u ^{2} + u ^{- 2}}{2} = y^{i v} - 16 y

Refine

- \frac{4 ( u ^{4} + 1 )}{u ^{2}} = y^{i v} - 16 y

Multiply both sides by

u^{2}

- \frac{4 ( u ^{4} + 1 )}{u ^{2}} = y^{i v} - 16 y

Multiply both sides by

u^{2}

- \frac{4 ( u ^{4} + 1 )}{u ^{2}} u^{2} = y^{i v} u^{2} - 16 y u^{2}

Simplify

- 4 (u^{4} + 1) = y^{i v} u^{2} - 16 y u^{2}

- 4 (u^{4} + 1) = y^{i v} u^{2} - 16 y u^{2}

Solve

- 4 (u^{4} + 1) = y^{i v} u^{2} - 16 y u^{2} : u = - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}, u = - - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}, u = - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}, u = - - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

- 4 (u^{4} + 1) = y^{i v} u^{2} - 16 y u^{2}

Expand

- 4 (u^{4} + 1) : - 4 u^{4} - 4

- 4 (u^{4} + 1)

Apply the distributive law:

a (b + c) = ab + a c

a = - 4, b = u^{4}, c = 1

= - 4 u^{4} + (- 4) \cdot 1

Apply minus-plus rules

+ (- a) = - a

= - 4 u^{4} - 4 \cdot 1

Multiply the numbers:

4 \cdot 1 = 4

= - 4 u^{4} - 4

- 4 u^{4} - 4 = y^{i v} u^{2} - 16 y u^{2}

Move

16 y u^{2}

to the left side

- 4 u^{4} - 4 = y^{i v} u^{2} - 16 y u^{2}

Add

16 y u^{2}

to both sides

- 4 u^{4} - 4 + 16 y u^{2} = y^{i v} u^{2} - 16 y u^{2} + 16 y u^{2}

Simplify

- 4 u^{4} - 4 + 16 y u^{2} = y^{i v} u^{2}

- 4 u^{4} - 4 + 16 y u^{2} = y^{i v} u^{2}

Move

y^{i v} u^{2}

to the left side

- 4 u^{4} - 4 + 16 y u^{2} = y^{i v} u^{2}

Subtract

y^{i v} u^{2}

from both sides

- 4 u^{4} - 4 + 16 y u^{2} - y^{i v} u^{2} = y^{i v} u^{2} - y^{i v} u^{2}

Simplify

- 4 u^{4} - 4 + 16 y u^{2} - y^{i v} u^{2} = 0

- 4 u^{4} - 4 + 16 y u^{2} - y^{i v} u^{2} = 0

Write in the standard form

a_{n} x^{n} + \dots + vx + y = 0

- 4 u^{4} + (16 y - y^{i v}) u^{2} - 4 = 0

Rewrite the equation with

w = u^{2}

and

w^{2} = u^{4}

- 4 w^{2} + (16 y - y^{i v}) w - 4 = 0

Solve

- 4 w^{2} + (16 y - y^{i v}) w - 4 = 0 : w = - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}, w = - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

- 4 w^{2} + (16 y - y^{i v}) w - 4 = 0

Solve with the quadratic formula

- 4 w^{2} + (16 y - y^{i v}) w - 4 = 0

Quadratic Equation Formula:

For

a = - 4, b = 16 y - y^{i v}, c = - 4

w_{1, 2} = \frac{- ( 16 y - y ^{i v} ) \pm ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 4 )}{2 ( - 4 )}

w_{1, 2} = \frac{- ( 16 y - y ^{i v} ) \pm ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 4 )}{2 ( - 4 )}

Simplify

(16 y - y^{i v})^{2} - 4 (- 4) (- 4) : (16 y - y^{i v})^{2} - 64

(16 y - y^{i v})^{2} - 4 (- 4) (- 4)

Apply rule

- (- a) = a

= (16 y - y^{i v})^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 4

Multiply the numbers:

4 \cdot 4 \cdot 4 = 64

= (16 y - y^{i v})^{2} - 64

w_{1, 2} = \frac{- ( 16 y - y ^{i v} ) \pm ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{2 ( - 4 )}

Separate the solutions

w_{1} = \frac{- ( 16 y - y ^{i v} ) + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{2 ( - 4 )}, w_{2} = \frac{- ( 16 y - y ^{i v} ) - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{2 ( - 4 )}

w = \frac{- ( 16 y - y ^{i v} ) + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{2 ( - 4 )} : - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

\frac{- ( 16 y - y ^{i v} ) + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{2 ( - 4 )}

Remove parentheses:

(- a) = - a

= \frac{- ( 16 y - y ^{i v} ) + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{- 2 \cdot 4}

Multiply the numbers:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- ( 16 y - y ^{i v} ) + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{- 8}

Apply the fraction rule:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- ( 16 y - y ^{i v} ) + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

- (16 y - y^{i v}) : - 16 y + y^{i v}

- (16 y - y^{i v})

Distribute parentheses

= - 16 y - (- y^{i v})

Apply minus-plus rules

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 16 y + y^{i v}

= - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

w = \frac{- ( 16 y - y ^{i v} ) - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{2 ( - 4 )} : - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

\frac{- ( 16 y - y ^{i v} ) - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{2 ( - 4 )}

Remove parentheses:

(- a) = - a

= \frac{- ( 16 y - y ^{i v} ) - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{- 2 \cdot 4}

Multiply the numbers:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- ( 16 y - y ^{i v} ) - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{- 8}

Apply the fraction rule:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- ( 16 y - y ^{i v} ) - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

- (16 y - y^{i v}) : - 16 y + y^{i v}

- (16 y - y^{i v})

Distribute parentheses

= - 16 y - (- y^{i v})

Apply minus-plus rules

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 16 y + y^{i v}

= - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

The solutions to the quadratic equation are:

w = - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}, w = - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

w = - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}, w = - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

Substitute back

w = u^{2},

solve for

u

Solve

u^{2} = - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8} : u = - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}, u = - - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

u^{2} = - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

For

x^{2} = f (a)

the solutions are

x = f (a), - f (a)

u = - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}, u = - - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

Solve

u^{2} = - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8} : u = - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}, u = - - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

u^{2} = - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

For

x^{2} = f (a)

the solutions are

x = f (a), - f (a)

u = - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}, u = - - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

The solutions are

u = - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}, u = - - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}, u = - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}, u = - - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

u = - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}, u = - - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}, u = - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}, u = - - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

u = - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}, u = - - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}, u = - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}, u = - - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

Substitute back

u = e^{x},

solve for

x

Solve

e^{x} = - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8} : x = \frac{1}{2} ln - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

e^{x} = - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

Apply exponent rules

e^{x} = - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

Apply exponent rule:

a = a^{\frac{1}{2}}

- \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8} = - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}^{\frac{1}{2}}

e^{x} = - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}^{\frac{1}{2}}

f (x) = g (x)

, then

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}^{\frac{1}{2}}

Apply log rule:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}^{\frac{1}{2}}

Apply log rule:

ln (x^{a}) = a \cdot ln (x)

ln - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} ln - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

x = \frac{1}{2} ln - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

x = \frac{1}{2} ln - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

Solve

e^{x} = - - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8} : x = ln - - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

e^{x} = - - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

Apply exponent rules

e^{x} = - - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

f (x) = g (x)

, then

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln - - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

Apply log rule:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln - - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

x = ln - - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

Solve

e^{x} = - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8} : x = \frac{1}{2} ln - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

e^{x} = - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

Apply exponent rules

e^{x} = - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

Apply exponent rule:

a = a^{\frac{1}{2}}

- \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8} = - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}^{\frac{1}{2}}

e^{x} = - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}^{\frac{1}{2}}

f (x) = g (x)

, then

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}^{\frac{1}{2}}

Apply log rule:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}^{\frac{1}{2}}

Apply log rule:

ln (x^{a}) = a \cdot ln (x)

ln - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} ln - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

x = \frac{1}{2} ln - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

x = \frac{1}{2} ln - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

Solve

e^{x} = - - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8} : x = ln - - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

e^{x} = - - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

Apply exponent rules

e^{x} = - - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

f (x) = g (x)

, then

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln - - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

Apply log rule:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln - - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

x = ln - - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

x = \frac{1}{2} ln - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}, x = ln - - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}, x = \frac{1}{2} ln - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}, x = ln - - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

x = \frac{1}{2} ln - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}, x = ln - - \frac{- 16 y + y ^{i v} + ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}, x = \frac{1}{2} ln - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}, x = ln - - \frac{- 16 y + y ^{i v} - ( 16 y - y ^{i v} ) ^{2} - 64}{8}

Popular Examples

cos(c)=cos(7)cos(60)

cos (c) = cos (7) cos (6 0^{\circ})

cos(xpi)=(-1)^n

cos (x π) = (- 1)^{n}

3csc(θ)=4.5

3 csc (θ) = 4.5

cos^3(x)= 1/(4(3cos(x)+cos(3x)))

cos^{3} (x) = \frac{1}{4 ( 3 cos ( x ) + cos ( 3 x ) )}

solvefor w,s(t)=Ae^{-ct}cos(wt+θ)solve for

w, s (t) = A e^{- c t} cos (wt + θ)

Frequently Asked Questions (FAQ)

What is the general solution for solvefor x,y^{(iv)}-16y=-8cosh(2x) ?
The general solution for solvefor x,y^{(iv)}-16y=-8cosh(2x) is