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4sin^2(x)=5-4cos(x)

Lösung

4 sin^{2} (x) = 5 - 4 cos (x)

Lösung

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Grad

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

4 sin^{2} (x) = 5 - 4 cos (x)

Subtrahiere

5 - 4 cos (x)

von beiden Seiten

4 sin^{2} (x) - 5 + 4 cos (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 5 + 4 cos (x) + 4 sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 5 + 4 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x))

Vereinfache

- 5 + 4 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x)) : 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 1

- 5 + 4 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x))

Multipliziere aus

4 (1 - cos^{2} (x)) : 4 - 4 cos^{2} (x)

4 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 cos^{2} (x)

= - 5 + 4 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x)

Vereinfache

- 5 + 4 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x) : 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 1

- 5 + 4 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 5 + 4

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 5 + 4 = - 1

= 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 1

= 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 1

= 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 1

- 1 + 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

- 1 + 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- 1 + 4 u - 4 u^{2} = 0

- 1 + 4 u - 4 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}

- 1 + 4 u - 4 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} + 4 u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 4 u^{2} + 4 u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 4, b = 4, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 1 )}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 1 )}{2 ( - 4 )}

4^{2} - 4 (- 4) (- 1) = 0

4^{2} - 4 (- 4) (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 4^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 4^{2} - 16

4^{2} = 16

= 16 - 16

Subtrahiere die Zahlen:

16 - 16 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 0}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- 4}{2 ( - 4 )}

\frac{- 4}{2 ( - 4 )} = \frac{1}{2}

\frac{- 4}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 4}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

Die Lösung für die quadratische Gleichung ist:

u = \frac{1}{2}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Beliebte Beispiele

sec((5pi)/3)

sec (\frac{5 π}{3})

2sin(3x)-sqrt(3)=0

2 sin (3 x) - 3 = 0

-sin(0)

- sin (0)

sec((5pi)/4)

sec (\frac{5 π}{4})

cot((11pi)/6)

cot (\frac{11 π}{6})