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sin(pi/4)sin(pi/(12))

Lösung

sin (\frac{π}{4}) sin (\frac{π}{12})

Lösung

\frac{3 - 1}{4}

Dezimale Notation

0.18301 \dots

Schritte zur Lösung

sin (\frac{π}{4}) sin (\frac{π}{12})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

\frac{cos ( \frac{π}{6} ) - cos ( \frac{π}{3} )}{2}

sin (\frac{π}{4}) sin (\frac{π}{12})

Benutze die Identität von Produkt und Summe:

sin (s) sin (t) = \frac{1}{2} (cos (s - t) - cos (s + t))

= \frac{1}{2} (cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{12}) - cos (\frac{π}{4} + \frac{π}{12}))

Vereinfache:

\frac{π}{4} - \frac{π}{12} = \frac{π}{6}

\frac{π}{4} - \frac{π}{12}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

4, 12 : 12

4, 12

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

4 : 2 \cdot 2

4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2

Primfaktorzerlegung von

12 : 2 \cdot 2 \cdot 3

12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

4

oder

12

vorkommt

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

12

Für

\frac{π}{4} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

= \frac{π 3}{12} - \frac{π}{12}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 3 - π}{12}

Addiere gleiche Elemente:

3 π - π = 2 π

= \frac{2 π}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{π}{6}

Vereinfache:

\frac{π}{4} + \frac{π}{12} = \frac{π}{3}

\frac{π}{4} + \frac{π}{12}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

4, 12 : 12

4, 12

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

4 : 2 \cdot 2

4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2

Primfaktorzerlegung von

12 : 2 \cdot 2 \cdot 3

12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

4

oder

12

vorkommt

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

12

Für

\frac{π}{4} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

= \frac{π 3}{12} + \frac{π}{12}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 3 + π}{12}

Addiere gleiche Elemente:

3 π + π = 4 π

= \frac{4 π}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{π}{3}

\frac{1}{2} (cos (\frac{π}{6}) - cos (\frac{π}{3})) = \frac{cos ( \frac{π}{6} ) - cos ( \frac{π}{3} )}{2}

\frac{1}{2} (cos (\frac{π}{6}) - cos (\frac{π}{3}))

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot ( cos ( \frac{π}{6} ) - cos ( \frac{π}{3} ) )}{2}

1 \cdot (cos (\frac{π}{6}) - cos (\frac{π}{3})) = cos (\frac{π}{6}) - cos (\frac{π}{3})

1 \cdot (cos (\frac{π}{6}) - cos (\frac{π}{3}))

Multipliziere:

1 \cdot (cos (\frac{π}{6}) - cos (\frac{π}{3})) = (cos (\frac{π}{6}) - cos (\frac{π}{3}))

= (cos (\frac{π}{6}) - cos (\frac{π}{3}))

Entferne die Klammern:

(a) = a

= cos (\frac{π}{6}) - cos (\frac{π}{3})

= \frac{cos ( \frac{π}{6} ) - cos ( \frac{π}{3} )}{2}

= \frac{cos ( \frac{π}{6} ) - cos ( \frac{π}{3} )}{2}

= \frac{cos ( \frac{π}{6} ) - cos ( \frac{π}{3} )}{2}

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2}

cos (\frac{π}{6})

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{3}{2}

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}

cos (\frac{π}{3})

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{1}{2}

= \frac{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}}{2}

Vereinfache

\frac{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}}{2} : \frac{3 - 1}{4}

\frac{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}}{2}

Ziehe Brüche zusammen

\frac{3}{2} - \frac{1}{2} : \frac{3 - 1}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 - 1}{2}

= \frac{\frac{3 - 1}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 - 1}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3 - 1}{4}

= \frac{3 - 1}{4}

Beliebte Beispiele

cos(123)

cos (12 3^{\circ})

cos(arccos(-0.1))

cos (arccos (- 0.1))

7*sin(50)

7 \cdot sin (5 0^{\circ})

4sinh(0)

4 sinh (0)

sin((-17pi)/6)

sin (\frac{- 17 π}{6})