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8sin^2(x)+2cos(x)=7

Solução

8 sin^{2} (x) + 2 cos (x) = 7

Solução

x = 1.82347 \dots + 2 πn, x = - 1.82347 \dots + 2 πn, x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graus

x = 104.47751 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 104.47751 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

8 sin^{2} (x) + 2 cos (x) = 7

Subtrair

7

de ambos os lados

8 sin^{2} (x) + 2 cos (x) - 7 = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 7 + 2 cos (x) + 8 sin^{2} (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 7 + 2 cos (x) + 8 (1 - cos^{2} (x))

Simplificar

- 7 + 2 cos (x) + 8 (1 - cos^{2} (x)) : 2 cos (x) - 8 cos^{2} (x) + 1

- 7 + 2 cos (x) + 8 (1 - cos^{2} (x))

Expandir

8 (1 - cos^{2} (x)) : 8 - 8 cos^{2} (x)

8 (1 - cos^{2} (x))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 8, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 8 \cdot 1 - 8 cos^{2} (x)

Multiplicar os números:

8 \cdot 1 = 8

= 8 - 8 cos^{2} (x)

= - 7 + 2 cos (x) + 8 - 8 cos^{2} (x)

Simplificar

- 7 + 2 cos (x) + 8 - 8 cos^{2} (x) : 2 cos (x) - 8 cos^{2} (x) + 1

- 7 + 2 cos (x) + 8 - 8 cos^{2} (x)

Agrupar termos semelhantes

= 2 cos (x) - 8 cos^{2} (x) - 7 + 8

Somar/subtrair:

- 7 + 8 = 1

= 2 cos (x) - 8 cos^{2} (x) + 1

= 2 cos (x) - 8 cos^{2} (x) + 1

= 2 cos (x) - 8 cos^{2} (x) + 1

1 + 2 cos (x) - 8 cos^{2} (x) = 0

Usando o método de substituição

1 + 2 cos (x) - 8 cos^{2} (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

1 + 2 u - 8 u^{2} = 0

1 + 2 u - 8 u^{2} = 0 : u = - \frac{1}{4}, u = \frac{1}{2}

1 + 2 u - 8 u^{2} = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- 8 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- 8 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 8, b = 2, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 8 ) \cdot 1}{2 ( - 8 )}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 8 ) \cdot 1}{2 ( - 8 )}

2^{2} - 4 (- 8) \cdot 1 = 6

2^{2} - 4 (- 8) \cdot 1

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 8 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 8 \cdot 1 = 32

= 2^{2} + 32

2^{2} = 4

= 4 + 32

Somar:

4 + 32 = 36

= 36

Fatorar o número:

36 = 6^{2}

= 6^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

6^{2} = 6

= 6

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 6}{2 ( - 8 )}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 2 + 6}{2 ( - 8 )}, u_{2} = \frac{- 2 - 6}{2 ( - 8 )}

u = \frac{- 2 + 6}{2 ( - 8 )} : - \frac{1}{4}

\frac{- 2 + 6}{2 ( - 8 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 2 + 6}{- 2 \cdot 8}

Somar/subtrair:

- 2 + 6 = 4

= \frac{4}{- 2 \cdot 8}

Multiplicar os números:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{4}{- 16}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{16}

Eliminar o fator comum:

4

= - \frac{1}{4}

u = \frac{- 2 - 6}{2 ( - 8 )} : \frac{1}{2}

\frac{- 2 - 6}{2 ( - 8 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 2 - 6}{- 2 \cdot 8}

Subtrair:

- 2 - 6 = - 8

= \frac{- 8}{- 2 \cdot 8}

Multiplicar os números:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{- 8}{- 16}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{8}{16}

Eliminar o fator comum:

8

= \frac{1}{2}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = - \frac{1}{4}, u = \frac{1}{2}

Substituir na equação

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{1}{4}, cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = - \frac{1}{4}, cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = - \frac{1}{4} : x = arccos (- \frac{1}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{4}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = - \frac{1}{4}

Soluções gerais para

cos (x) = - \frac{1}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{4}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Soluções gerais para

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = arccos (- \frac{1}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{4}) + 2 πn, x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Mostrar soluções na forma decimal

x = 1.82347 \dots + 2 πn, x = - 1.82347 \dots + 2 πn, x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Exemplos populares

tan((19pi)/(12))

tan (\frac{19 π}{12})

provar 1/(sec(x)-tan(x))=sec(x)+tan(x)provar

\frac{1}{sec ( x ) - tan ( x )} = sec (x) + tan (x)

cos(90)

cos (9 0^{\circ})

cos(-(3pi)/4)

cos (- \frac{3 π}{4})

sin(-(5pi)/6)

sin (- \frac{5 π}{6})