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cosh(2x)=2cosh(x)-1

解答

cosh (2 x) = 2 cosh (x) - 1

解答

x = 0

+1

度数

x = 0^{\circ}

求解步骤

cosh (2 x) = 2 cosh (x) - 1

使用三角恒等式改写

cosh (2 x) = 2 cosh (x) - 1

使用双曲函数恒等式:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 2 cosh (x) - 1

使用双曲函数恒等式:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} - 1

\frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} - 1

\frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} - 1 : x = 0

\frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} - 1

在两边乘以

2

\frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} \cdot 2 = 2 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2

化简

e^{2 x} + e^{- 2 x} = 2 (e^{x} + e^{- x}) - 2

使用指数运算法则

e^{2 x} + e^{- 2 x} = 2 (e^{x} + e^{- x}) - 2

使用指数法则:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{2 x} = (e^{x})^{2}, e^{- 2 x} = (e^{x})^{- 2}, e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

(e^{x})^{2} + (e^{x})^{- 2} = 2 (e^{x} + (e^{x})^{- 1}) - 2

(e^{x})^{2} + (e^{x})^{- 2} = 2 (e^{x} + (e^{x})^{- 1}) - 2

用

e^{x} = u

改写方程式

(u)^{2} + (u)^{- 2} = 2 (u + (u)^{- 1}) - 2

解

u^{2} + u^{- 2} = 2 (u + u^{- 1}) - 2 : u = 1

u^{2} + u^{- 2} = 2 (u + u^{- 1}) - 2

整理后得

u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} = 2 (u + \frac{1}{u}) - 2

在两边乘以

u^{2}

u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} = 2 (u + \frac{1}{u}) - 2

在两边乘以

u^{2}

u^{2} u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} u^{2} = 2 (u + \frac{1}{u}) u^{2} - 2 u^{2}

化简

u^{2} u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} u^{2} = 2 (u + \frac{1}{u}) u^{2} - 2 u^{2}

化简

u^{2} u^{2} : u^{4}

u^{2} u^{2}

使用指数法则:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u^{2} = u^{2 + 2}

= u^{2 + 2}

数字相加:

2 + 2 = 4

= u^{4}

化简

\frac{1}{u ^{2}} u^{2} : 1

\frac{1}{u ^{2}} u^{2}

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u ^{2}}{u ^{2}}

约分:

u^{2}

= 1

u^{4} + 1 = 2 (u + \frac{1}{u}) u^{2} - 2 u^{2}

u^{4} + 1 = 2 (u + \frac{1}{u}) u^{2} - 2 u^{2}

u^{4} + 1 = 2 (u + \frac{1}{u}) u^{2} - 2 u^{2}

展开

2 (u + \frac{1}{u}) u^{2} - 2 u^{2} : 2 u^{3} + 2 u - 2 u^{2}

2 (u + \frac{1}{u}) u^{2} - 2 u^{2}

= 2 u^{2} (u + \frac{1}{u}) - 2 u^{2}

乘开

2 u^{2} (u + \frac{1}{u}) : 2 u^{3} + 2 u

2 u^{2} (u + \frac{1}{u})

使用分配律:

a (b + c) = ab + a c

a = 2 u^{2}, b = u, c = \frac{1}{u}

= 2 u^{2} u + 2 u^{2} \frac{1}{u}

= 2 u^{2} u + 2 \cdot \frac{1}{u} u^{2}

化简

2 u^{2} u + 2 \cdot \frac{1}{u} u^{2} : 2 u^{3} + 2 u

2 u^{2} u + 2 \cdot \frac{1}{u} u^{2}

2 u^{2} u = 2 u^{3}

2 u^{2} u

使用指数法则:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= 2 u^{2 + 1}

数字相加:

2 + 1 = 3

= 2 u^{3}

2 \cdot \frac{1}{u} u^{2} = 2 u

2 \cdot \frac{1}{u} u^{2}

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 u ^{2}}{u}

数字相乘:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2 u ^{2}}{u}

约分:

u

= 2 u

= 2 u^{3} + 2 u

= 2 u^{3} + 2 u

= 2 u^{3} + 2 u - 2 u^{2}

u^{4} + 1 = 2 u^{3} + 2 u - 2 u^{2}

解

u^{4} + 1 = 2 u^{3} + 2 u - 2 u^{2} : u = 1

u^{4} + 1 = 2 u^{3} + 2 u - 2 u^{2}

将

2 u^{2}

para o lado esquerdo

u^{4} + 1 = 2 u^{3} + 2 u - 2 u^{2}

两边加上

2 u^{2}

u^{4} + 1 + 2 u^{2} = 2 u^{3} + 2 u - 2 u^{2} + 2 u^{2}

化简

u^{4} + 1 + 2 u^{2} = 2 u^{3} + 2 u

u^{4} + 1 + 2 u^{2} = 2 u^{3} + 2 u

将

2 u

para o lado esquerdo

u^{4} + 1 + 2 u^{2} = 2 u^{3} + 2 u

两边减去

2 u

u^{4} + 1 + 2 u^{2} - 2 u = 2 u^{3} + 2 u - 2 u

化简

u^{4} + 1 + 2 u^{2} - 2 u = 2 u^{3}

u^{4} + 1 + 2 u^{2} - 2 u = 2 u^{3}

将

2 u^{3}

para o lado esquerdo

u^{4} + 1 + 2 u^{2} - 2 u = 2 u^{3}

两边减去

2 u^{3}

u^{4} + 1 + 2 u^{2} - 2 u - 2 u^{3} = 2 u^{3} - 2 u^{3}

化简

u^{4} + 1 + 2 u^{2} - 2 u - 2 u^{3} = 0

u^{4} + 1 + 2 u^{2} - 2 u - 2 u^{3} = 0

改写成标准形式

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{4} - 2 u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + 1 = 0

因式分解

u^{4} - 2 u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + 1 : (u - 1)^{2} (u^{2} + 1)

u^{4} - 2 u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + 1

使用有理根定理

a_{0} = 1, a_{n} = 1

a_{0}

的除数

: 1, a_{n}

的除数

: 1

因此，检验以下有理数:

\pm \frac{1}{1}

\frac{1}{1}

是表达式的根，所以因式分解

u - 1

= (u - 1) \frac{u ^{4} - 2 u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1}

\frac{u ^{4} - 2 u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1} = u^{3} - u^{2} + u - 1

\frac{u ^{4} - 2 u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1}

对

\frac{u ^{4} - 2 u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1}

做除法:

\frac{u ^{4} - 2 u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1} = u^{3} + \frac{- u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1}

将分子

u^{4} - 2 u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + 1

与除数

u - 1

的首项系数相除：

\frac{u ^{4}}{u} = u^{3}

商 = u^{3}

将

u - 1

乘以

u^{3} : u^{4} - u^{3}

将

u^{4} - 2 u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + 1

减去

u^{4} - u^{3}

得到新的余数

余数 = - u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + 1

因此

\frac{u ^{4} - 2 u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1} = u^{3} + \frac{- u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1}

= u^{3} + \frac{- u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1}

对

\frac{- u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1}

做除法:

\frac{- u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1} = - u^{2} + \frac{u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1}

将分子

- u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + 1

与除数

u - 1

的首项系数相除：

\frac{- u ^{3}}{u} = - u^{2}

商 = - u^{2}

将

u - 1

乘以

- u^{2} : - u^{3} + u^{2}

将

- u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + 1

减去

- u^{3} + u^{2}

得到新的余数

余数 = u^{2} - 2 u + 1

因此

\frac{- u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1} = - u^{2} + \frac{u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1}

= u^{3} - u^{2} + \frac{u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1}

对

\frac{u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1}

做除法:

\frac{u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1} = u + \frac{- u + 1}{u - 1}

将分子

u^{2} - 2 u + 1

与除数

u - 1

的首项系数相除：

\frac{u ^{2}}{u} = u

商 = u

将

u - 1

乘以

u : u^{2} - u

将

u^{2} - 2 u + 1

减去

u^{2} - u

得到新的余数

余数 = - u + 1

因此

\frac{u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1} = u + \frac{- u + 1}{u - 1}

= u^{3} - u^{2} + u + \frac{- u + 1}{u - 1}

对

\frac{- u + 1}{u - 1}

做除法:

\frac{- u + 1}{u - 1} = - 1

将分子

- u + 1

与除数

u - 1

的首项系数相除：

\frac{- u}{u} = - 1

商 = - 1

将

u - 1

乘以

- 1 : - u + 1

将

- u + 1

减去

- u + 1

得到新的余数

余数 = 0

因此

\frac{- u + 1}{u - 1} = - 1

= u^{3} - u^{2} + u - 1

= u^{3} - u^{2} + u - 1

分解

u^{3} - u^{2} + u - 1 : (u - 1) (u^{2} + 1)

u^{3} - u^{2} + u - 1

= (u^{3} - u^{2}) + (u - 1)

从

u^{3} - u^{2}

分解出因式

u^{2}

:

u^{2} (u - 1)

u^{3} - u^{2}

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u u^{2}

= u u^{2} - u^{2}

因式分解出通项

u^{2}

= u^{2} (u - 1)

= (u - 1) + u^{2} (u - 1)

因式分解出通项

u - 1

= (u - 1) (u^{2} + 1)

= (u - 1) (u - 1) (u^{2} + 1)

整理后得

= (u - 1)^{2} (u^{2} + 1)

(u - 1)^{2} (u^{2} + 1) = 0

使用零因数法则： If

ab = 0

then

a = 0

or

b = 0

u - 1 = 0 or u^{2} + 1 = 0

解

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

将

1

到右边

u - 1 = 0

两边加上

1

u - 1 + 1 = 0 + 1

化简

u = 1

u = 1

解

u^{2} + 1 = 0 : u \in R

无解

u^{2} + 1 = 0

将

1

到右边

u^{2} + 1 = 0

两边减去

1

u^{2} + 1 - 1 = 0 - 1

化简

u^{2} = - 1

u^{2} = - 1

x^{2}

在

x

内不能为负

\in R

u \in R 无解

解是

u = 1

u = 1

验证解

找到无定义的点（奇点）:

u = 0

取

u^{2} + u^{- 2}

的分母，令其等于零

解

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

使用法则

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

取

2 (u + u^{- 1}) - 2

的分母，令其等于零

u = 0

以下点无定义

u = 0

将不在定义域的点与解相综合:

u = 1

u = 1

代回

u = e^{x}

，求解

x

解

e^{x} = 1 : x = 0

e^{x} = 1

使用指数运算法则

e^{x} = 1

若

f (x) = g (x)

，则

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (1)

使用对数计算法则:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (1)

化简

ln (1) : 0

ln (1)

使用对数计算法则:

lo g_{a} (1) = 0

= 0

x = 0

x = 0

x = 0

x = 0

流行的例子

1=(3sin^2(x))/(cos^2(x))

1 = \frac{3 sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

4 cos (3 x) = 2

4cos(2x)=4cos^2(x)-1

4 cos (2 x) = 4 cos^{2} (x) - 1

tan(8b)=cot(10b)

tan (8 b) = cot (10 b)

solvefor θ,cos(θ)=0 求解

θ, cos (θ) = 0