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4sin(x)-6cos(x)=3

Soluzione

4 sin (x) - 6 cos (x) = 3

Soluzione

x = - 2.58786 \dots + 2 πn, x = 1.41186 \dots + 2 πn

Gradi

x = - 148.27395 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 80.89382 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

4 sin (x) - 6 cos (x) = 3

Aggiungi

6 cos (x)

ad entrambi i lati

4 sin (x) = 3 + 6 cos (x)

Eleva entrambi i lati al quadrato

(4 sin (x))^{2} = (3 + 6 cos (x))^{2}

Sottrarre

(3 + 6 cos (x))^{2}

da entrambi i lati

16 sin^{2} (x) - 9 - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

- 9 + 16 sin^{2} (x) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x)

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 9 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x)

Semplificare

- 9 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x) : - 52 cos^{2} (x) - 36 cos (x) + 7

- 9 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x)

Espandi

16 (1 - cos^{2} (x)) : 16 - 16 cos^{2} (x)

16 (1 - cos^{2} (x))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = 16, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 16 \cdot 1 - 16 cos^{2} (x)

Moltiplica i numeri:

16 \cdot 1 = 16

= 16 - 16 cos^{2} (x)

= - 9 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x)

Semplifica

- 9 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x) : - 52 cos^{2} (x) - 36 cos (x) + 7

- 9 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x)

Raggruppa termini simili

= - 16 cos^{2} (x) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x) - 9 + 16

Aggiungi elementi simili:

- 16 cos^{2} (x) - 36 cos^{2} (x) = - 52 cos^{2} (x)

= - 52 cos^{2} (x) - 36 cos (x) - 9 + 16

Aggiungi/Sottrai i numeri:

- 9 + 16 = 7

= - 52 cos^{2} (x) - 36 cos (x) + 7

= - 52 cos^{2} (x) - 36 cos (x) + 7

= - 52 cos^{2} (x) - 36 cos (x) + 7

7 - 36 cos (x) - 52 cos^{2} (x) = 0

Risolvi per sostituzione

7 - 36 cos (x) - 52 cos^{2} (x) = 0

Sia:

cos (x) = u

7 - 36 u - 52 u^{2} = 0

7 - 36 u - 52 u^{2} = 0 : u = - \frac{9 + 2 43}{26}, u = \frac{2 43 - 9}{26}

7 - 36 u - 52 u^{2} = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 52 u^{2} - 36 u + 7 = 0

Risolvi con la formula quadratica

- 52 u^{2} - 36 u + 7 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = - 52, b = - 36, c = 7

u_{1, 2} = \frac{- ( - 36 ) \pm ( - 36 ) ^{2} - 4 ( - 52 ) \cdot 7}{2 ( - 52 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 36 ) \pm ( - 36 ) ^{2} - 4 ( - 52 ) \cdot 7}{2 ( - 52 )}

(- 36)^{2} - 4 (- 52) \cdot 7 = 843

(- 36)^{2} - 4 (- 52) \cdot 7

Applicare la regola

- (- a) = a

= (- 36)^{2} + 4 \cdot 52 \cdot 7

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 36)^{2} = 3 6^{2}

= 3 6^{2} + 4 \cdot 52 \cdot 7

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 52 \cdot 7 = 1456

= 3 6^{2} + 1456

3 6^{2} = 1296

= 1296 + 1456

Aggiungi i numeri:

1296 + 1456 = 2752

= 2752

Fattorizzazione prima di

2752 : 2^{6} \cdot 43

2752

2752

diviso per

22752 = 1376 \cdot 2

= 2 \cdot 1376

1376

diviso per

21376 = 688 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 688

688

diviso per

2688 = 344 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 344

344

diviso per

2344 = 172 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 172

172

diviso per

2172 = 86 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 86

86

diviso per

286 = 43 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 43

2, 43

sono tutti numeri primi, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 43

= 2^{6} \cdot 43

= 2^{6} \cdot 43

Applicare la regola della radice:

= 43 2^{6}

Applicare la regola della radice:

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 43

Affinare

= 843

u_{1, 2} = \frac{- ( - 36 ) \pm 8 43}{2 ( - 52 )}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- ( - 36 ) + 8 43}{2 ( - 52 )}, u_{2} = \frac{- ( - 36 ) - 8 43}{2 ( - 52 )}

u = \frac{- ( - 36 ) + 8 43}{2 ( - 52 )} : - \frac{9 + 2 43}{26}

\frac{- ( - 36 ) + 8 43}{2 ( - 52 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{36 + 8 43}{- 2 \cdot 52}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 52 = 104

= \frac{36 + 8 43}{- 104}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{36 + 8 43}{104}

Cancellare

\frac{36 + 8 43}{104} : \frac{9 + 2 43}{26}

\frac{36 + 8 43}{104}

Fattorizza

36 + 843 : 4 (9 + 243)

36 + 843

Riscrivi come

= 4 \cdot 9 + 4 \cdot 243

Fattorizzare dal termine comune

4

= 4 (9 + 243)

= \frac{4 ( 9 + 2 43 )}{104}

Cancella il fattore comune:

4

= \frac{9 + 2 43}{26}

= - \frac{9 + 2 43}{26}

u = \frac{- ( - 36 ) - 8 43}{2 ( - 52 )} : \frac{2 43 - 9}{26}

\frac{- ( - 36 ) - 8 43}{2 ( - 52 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{36 - 8 43}{- 2 \cdot 52}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 52 = 104

= \frac{36 - 8 43}{- 104}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

36 - 843 = - (843 - 36)

= \frac{8 43 - 36}{104}

Fattorizza

843 - 36 : 4 (243 - 9)

843 - 36

Riscrivi come

= 4 \cdot 243 - 4 \cdot 9

Fattorizzare dal termine comune

4

= 4 (243 - 9)

= \frac{4 ( 2 43 - 9 )}{104}

Cancella il fattore comune:

4

= \frac{2 43 - 9}{26}

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = - \frac{9 + 2 43}{26}, u = \frac{2 43 - 9}{26}

Sostituire indietro

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{9 + 2 43}{26}, cos (x) = \frac{2 43 - 9}{26}

cos (x) = - \frac{9 + 2 43}{26}, cos (x) = \frac{2 43 - 9}{26}

cos (x) = - \frac{9 + 2 43}{26} : x = arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{9 + 2 43}{26}

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

cos (x) = - \frac{9 + 2 43}{26}

Soluzioni generali per

cos (x) = - \frac{9 + 2 43}{26}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 43 - 9}{26} : x = arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 43 - 9}{26}

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

cos (x) = \frac{2 43 - 9}{26}

Soluzioni generali per

cos (x) = \frac{2 43 - 9}{26}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

x = arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn

Verifica le soluzioni inserendole nell' equazione originale

Verifica le soluzioni sostituendole in

4 sin (x) - 6 cos (x) = 3

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Verificare la soluzione

arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn :

Falso

arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn

Inserire in

n = 1

arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1

Per

4 sin (x) - 6 cos (x) = 3

inserisci la

x = arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1

4 sin (arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1) - 6 cos (arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1) = 3

Affinare

7.20686 \dots = 3

\Rightarrow Falso

Verificare la soluzione

- arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn :

Vero

- arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn

Inserire in

n = 1

- arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1

Per

4 sin (x) - 6 cos (x) = 3

inserisci la

x = - arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1

4 sin (- arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1) - 6 cos (- arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1) = 3

Affinare

3 = 3

\Rightarrow Vero

Verificare la soluzione

arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn :

Vero

arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn

Inserire in

n = 1

arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1

Per

4 sin (x) - 6 cos (x) = 3

inserisci la

x = arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1

4 sin (arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1) - 6 cos (arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1) = 3

Affinare

3 = 3

\Rightarrow Vero

Verificare la soluzione

2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn :

Falso

2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn

Inserire in

n = 1

2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1

Per

4 sin (x) - 6 cos (x) = 3

inserisci la

x = 2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1

4 sin (2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1) - 6 cos (2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1) = 3

Affinare

- 4.89917 \dots = 3

\Rightarrow Falso

x = - arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn

Mostra le soluzioni in forma decimale

x = - 2.58786 \dots + 2 πn, x = 1.41186 \dots + 2 πn

Esempi popolari

4cos(x)=cos^3(x)

4 cos (x) = cos^{3} (x)

cos^2(a)= 3/(5sin(a))

cos^{2} (a) = \frac{3}{5 sin ( a )}

3cos(x)=2sec(x)-5

3 cos (x) = 2 sec (x) - 5

sin(a/2)=(1/2)sin(a)

sin (\frac{a}{2}) = (\frac{1}{2}) sin (a)

cos(x/2)=cos(x)+1

cos (\frac{x}{2}) = cos (x) + 1